Uma importante relação de trigonometria esférica, juntamente da lei dos senos e cossenos, é a equação dos 4 elementos consecutivos. Ela pode ser deduzida a partir das leis dos senos e cossenos, porém isso leva muito tempo, sendo mais fácil decorá-la. Os treinamentos de Vinhedo e a IOAA já estão cobrando essa lei com o pressuposto que o aluno a conhece, logo é importante. O NOIC já tem uma página com ela, porém está escrita de um jeito bugadão de decorar pra prova, então aí vai o jeito que o Lucas Shoji me ensinou um dia:
A lei diz que:
$$+\cot AE \sin AI + \cos LI \cos AI = \cot LE \sin LI$$
Onde:
- AI: ângulo interno
- AE: ângulo externo
- LI: lado interno
- LE: lado externo
Lembrando que a lei relaciona somente quatro elementos CONSECUTIVOS, ou seja, 4 ângulos e lados ‘colados’
Salve Jan
Por Giovanna Girotto
Nessa ideia iremos aprender a calcular o tempo de duração do nascer (ou pôr) do Sol, isto é, o intervalo de tempo entre a borda inferior do Sol tocar o horizonte e sua parte superior “desaparecer”.
Teremos que separar os cálculos em duas partes: a primeira quando a declinação (δ) do Sol é zero e a segunda quando sua declinação é diferente de zero.
- δ=0
Onde, no triângulo mostrado, estão marcados:
$${\bar{\Phi }}$$ = complemento da latitude
$${\alpha}$$ = ângulo que o Sol percorre para encostar sua borda inferior até encostar o centro no horizonte
$${\Theta}$$ = diâmetro do Sol
Assim, nesse triângulo podemos aplicar uma simples Lei dos Senos para encontrar o valor de $${\alpha}$$ :
$${\frac{\sin \Phi }{\sin \theta /2}=\frac{1}{\sin \alpha }}$$
Com o valor de $${\alpha}$$:
$${\Delta t=\frac{2\alpha }{\omega _{t}}}$$
Em que $${\omega _{t}}$$= velocidade angular de rotação da Terra
2. δ $${\neq}$$ 0
Para descobrirmos o ângulo $${\alpha}$$ de maneira análoga ao primeiro caso, precisamos antes descobrir o ângulo $${\eta}$$ :
Lei dos Senos:
$${\frac{\sin x}{\sin \Phi }=\frac{\sin \delta }{\sin \eta }}$$ (Eq 1)
Regra dos 4 elementos:
$${\cos x.\cos 90=\cot \delta .\sin x-\cot \eta \sin 90}$$
$${\cot \eta =\cot \delta .\sin x}$$
$${\sin x=\frac{\cot \eta }{\cot \delta }}$$ (Eq. 2)
Substituindo (Eq. 2) em (Eq. 1):
$${\cos \eta =\sin \Phi .\cos \delta}$$
E assim descobrimos o valor de $${\eta}$$ !
Agora, de maneira análoga ao primeiro caso, aplicaremos Lei dos Senos:
$${\frac{\sin \eta }{\sin \theta /2}=\frac{1}{\sin \alpha }}$$
Com o valor de $${\alpha}$$:
$${\Delta t=\frac{2\alpha }{\omega _{t}}}$$
Exercícios
Águias na cruz de Caraiman (IOAA 2014)