Livros nos contam que, em tempos mais antigos, matemáticos desafiavam uns aos outros propondo questões complicadas e por muitas vezes se reuniam em praça pública para a realização de torneios, onde teriam que resolver equações difíceis. O que nasceu talvez por um capricho do ego destas pessoas tomou forma mais salutar com a realização da 1ª Olimpíada de Matemática, na Hungria em 1896. De lá pra cá, as competições de matemática entre estudantes vêm a cada dia se organizando e se mostrando um forte indicador para descobrir novos talentos para a ciência.
Guia de matemática para olimpíadas Atualmente, as competições de matemática têm extensões regionais, nacionais e internacionais. Em âmbito nacional, destacam-se a OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) e a OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática), essa última servindo também como seletiva para as internacionais. Já no âmbito internacional são várias as olimpíadas internacionais, das quais algumas o Brasil participa, englobando públicos de ensino fundamental, até médio e universitário.
É comum a divisão da matemática em 4 áreas principais, sendo elas: combinatória, geometria, teoria dos números e álgebra, as quais englobam uma série de assuntos. A lista abaixo indica os conteúdos que se fazem necessários no percurso das competições de matemática, desde as olimpíadas nacionais, até as seletivas e as olimpíadas internacionais. Frisamos que as 4 divisões são igualmente importantes, e devem ser vistas de modo simultâneo, dando prioridade aos conteúdos iniciais de cada segmento, considerando que estão listados por ordem de dificuldade.
Guia de Combinatória
Por onde começar?
Um bom começo para combinatória são os materiais do POTI (Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo) do curso de combinatória para o nível 2, englobando assuntos de i até iv, de vi até ix e uma introdução aos assuntos xi, xii e xvi.
Além disso, o livro “Análise Combinatória e Probabilidade” é muito útil para o aprendizado dos assuntos iv e v, principalmente nas suas explicações.
Tenho domínio dos assuntos iniciais, quais os próximos passos?
Você pode continuar utilizando os matérias do POTI, com o curso de combinatória para o nível 3, que abrange os temas restantes, exceto xviii. Porém, indicaremos alguns complementos, que podem ser úteis para aprofundamento e melhor compreensão.
Como o material “Algoritmos e a questão 5 da IMO/2017 – Prof. Armando Barbosa” da Semana Olímpica de 2018, útil ao assunto xiv e o material “Expected Uses of Probability – Evan Chen”, para xviii.
- Paridade
- Tabuleiros
- Jogos
- Contagem
- Probabilidade
- Indução
- Princípio da casa dos pombos
- Invariantes e monovariantes
- Princípio do Extremo
- Princípio da Inclusão-Exclusão
- Teoria dos grafos (definições, indução, Teorema de Ramsey, Teorema dos Casamentos, Teorema de Turán, etc.)
- Contagem dupla
- Combinatória geométrica
- Algoritmos
- Continuidade discreta
- Recorrência
- Funções geratrizes
- Método probabilístico
Guia de Geometria
Por onde começar?
O livro “Fundamentos de Matemática Elementar – Vol.9” é ideal para a fase mais inicial, pois engloba as noções básicas de geometria euclidiana, abrangendo os tópicos i até vi. Uma boa alternativa é o livro Tópicos de Matemática Elementar – Vol.2, que engloba os tópicos de i até v, dando ênfase aos capítulos de 1 a 5.
Além dessas fontes, o POTI tem ótimos materiais, separados por assunto. Indicamos, nesse primeiro momento, alguns deles: “Geometria Básica – Primeiro contato com a geometria olímpica, Prof. Bruno Holanda” e as aulas de 1 até 7 do curso de geometria do nível 2.
Tenho domínio dos assuntos iniciais, quais são os próximos passos?
O livro “Challenging Problems in Geometry” seria o próximo passo, com problemas e aplicações mais direcionadas para as olimpíadas, suprindo os tópicos de ii até iv, viii e ix, xi e xii.
Depois disso, entrando no cenário de preparação para internacionais, chegamos ao “Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads – Evan Chen”, que cobre a maioria dos assuntos dessa lista: de v até xxxiv, exceto xiii, xviii, xx, xxiii, xxix, xxx e xxxi. É um excelente livro, tanto na parte da matéria quanto na dos exercícios, dos quais muitos têm dicas, e alguns, soluções.
Ao fim, como um livro mais avançado, indicamos o “Lemmas in Olympiad Geometry”, que fala sobre ix, x, xii até xv, xx, xxi, xxiii, xxiv, xxvi, xxvii, xxix, xxx e xxxii.
- Geometria básica (quadriláteros notáveis, noções com ângulos, propriedades do triângulo, teorema de Pitágoras, perímetros e áreas, etc.)
- Congruência de triângulos
- Teorema de Tales
- Semelhança de triângulos
- Pontos notáveis do triângulo (ortocentro, baricentro, circuncentro, etc.)
- Quadriláteros circunscritíveis
- Teorema do Bico e teorema de Pitot
- Quadriláteros inscritíveis
- Teorema de Ptolomeu
- Potência de ponto, eixo radical e centro radical
- Teorema de Ceva e teorema de Menelaus
- Reta de Simson-Wallace
- Reta de Steiner
- Homotetia
- Teorema de Monge
- Circunferência dos nove pontos
- Reta de Euler
- Método K
- Trigonometria
- Teorema de Carnot
- Simedianas
- Conjugados isogonais e triângulo pedal
- Teorema de Jacobi
- Inversão
- Roto-homotetia
- Quadriláteros completos e ponto de Miquel
- Teorema de Casey
- Geometria projetiva
- Desargues e Pascal
- Teorema de Sondat e Cúbica de Neuberg
- Vetores
- Geometria com complexos
- Coordenadas Baricêntricas
- Geometria analítica
Guia de Teoria dos Números
Por onde começar?
Os livros “Introdução à Teoria dos Números – Plínio Santos” e “Tópicos de Matemática Elementar - Vol. 5” são ótimos para pegar os conceitos básicos de i até xi, além de terminarem com conteúdos avançados, sendo excelentes maneiras de formar uma base sólida nessa área da matemática.
Além disso, o POTI também possui ótimos materiais para esses conteúdos.
Tenho domínio dos assuntos iniciais, quais são os próximos passos?
Os livros da coleção Treinamento Cone Sul e o “Number Theory Structures, Examples and Problems” são indicados para alunos que procuram se preparar para a Lusofonia ou Cone Sul.
Já para o treinamento IMO, o famoso livro “Teoria dos Números- Um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro” do Gugu possui todos os conteúdos, mas é bem avançado, sendo recomendado para quem já está fortemente familiarizado com o nível dos livros do Por onde começar?
Por fim, o “Problems from the Book” é focado principalmente em problemas, sendo recomendado para pessoas que procuram se preparar para a IMO.
- Divisibilidade
- MDC, MMC e Algoritmo de Euclides
- Teorema de Bézout
- Teorema Fundamental da Aritmética
- Congruência (propriedades, teorema de Euler, teorema de Wilson, teorema de Fermat, etc.)
- Teorema Chinês dos Restos
- Parte inteira
- Ordem
- Lema do levantamento (LTE)
- Raízes primitivas
- Resíduos quadráticos, Símbolo de Legendre e Lei da Reciprocidade Quadráticas
- Descida de Fermat
- Equações diofantinas
- Funções multilplicativas
- Polinômios em Z[X]
- Lema de Hensel
- Inteiros algébricos
- Corpos finitos
- Polinômios ciclotômicos
Guia de Álgebra
Por onde começar?
O “Tópicos de Matemática Elementar – Vol. 1” possui uma introdução objetiva e completa à álgebra requisitada nos níveis 1 e 2 da OBM. Já para os tópicos mais avançados, “Tópicos de Matemática Elementar – Vol. 3” e “Tópicos de Matemática Elementar – Vol. 6” são ótimas escolhas para aprender todo o básico de Análise e Polinômios.
Tenho domínio dos assuntos iniciais, quais são os próximos passos?
Para o nível 3 avançado, os livros “Problems from the Book”, “Functional Equations – Titu Andreescu” e “Inequalities – Zdravko Cvetkovski” englobam, em conjunto com os materiais já mencionados, todos os assuntos necessários para a álgebra olímpica, dando todo o conteúdo necessário para as competições.
- Produtos notáveis
- Equações e sistemas de equações
- Desigualdades (médias, Cauchy-Scharwz, Chebyshev, Jensen, Muihead, Schur, Karamata, etc.)
- Sequências
- Números complexos e raízes da unidade
- Equações funcionais
- Desigualdades funcionais
- Polinômios
- Análise
- Métodos avançados em sequência
Outras recomendações
Treine com provas passadas
Se você está focando em determinada olímpiada, faça as provas passadas. Um bom modo de fazer isso é simulando: separe o mesmo tempo que terá na prova, de preferência em um ambiente agradável e sem acesso a nenhuma fonte.
Faça muitas questões
O melhor jeito de saber quais os conteúdos e ideias frequentes é tendo acesso ao maior número de questões possíveis, tanto nos materiais e livros citados, quanto ao pesquisar pelas provas olimpíadas internacionais e nacionais de outros países, as quais podem ser achados no AOPS (Art Of Problem Solving).
Não se limite
Não se limite somente as nossas recomendações. Caso algum dos materiais não seja de seu agrado, você pode também, somente pesquisando os assuntos citados, encontrar arquivos de semanas olímpicas passadas, do POTI, dos blogs/sites de treinamento para as seletivas, entre outras fontes. É fundamental desenvolver a habilidade de ser autodidata.
Algumas outras fontes:
Conheça nosso Curso Noic de Matemática
MathLinks O site que também é conhecido como “Art of Problem Solving”, é um dos mais famosos fóruns de discussões de problemas em Matemática do mundo. o Mathlinks reune milhares de matemáticos e amadores interessados em várias áreas da matemática, contendo um fórum exclusivo para olimpíadas de matemática, onde é possível encontrar os problemas e soluções de várias olimpíadas. Além disso, o fórum também permite que cada um poste suas dúvidas, sendo uma ótima ferramenta para olímpicos!Conheça mais sobre o Mathlinks!
POTI O programa "Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo (POTI)" tem como objetivo dar cursos gratuitos de matemática para os estudantes de todo o Brasil. Esse curso curso é presencial em algumas cidades mas todo o material e vídeos do programa (que foram feitos pelos melhores professores do Brasil) estão disponíveis no site do POTI. O curso para cada um dos níveis cobrirá os conteúdos de Álgebra, Combinatória, Geometria Plana e Teoria dos Números.Conheça mais sobre o POTI!
Eureka! A revista Eureka! tem como objetivo divulgar a matemática e sua beleza pelo país, também com o objetivo de suprir a falta de materiais em português e para alunos de Ensino Fundamental (mesmo assim ela contém diversos artigos avançados para o ensino médio).A revista também divulga resultados de olimpíadas e as soluções da OBM.O download da revista é gratuito e pode ser realizado clicando aqui!
Mathematical Excalibur
Uma das revistas matemáticas mais conhecidas do mundo. Ela contém diversos pequenos artigos sobre um assunto matemático específico, com diversos exemplos e problemas famosos. Perfeito pra quem busca teoria pequena e problemas selecionados!
Essa revista pode ser baixada gratuitamente em seu site oficial.
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