Escrito por Rafael Amiune
Introdução
Nesse material, abordaremos dois dos principais teoremas da geometria olímpica, os teoremas de Ceva e Menelaus. Apresentaremos a prova dos teoremas e alguns exemplos, seguidos de exercícios para praticar. Aproveite!
Ceva
(Teorema de Ceva) Sejam $D$, $E$, $F$ pontos sobre os lados $BC$, $CA$, $AB$, do triângulo $ABC$, respectivamente, tais que $1$ ou $3$ estão dentro dos respectivos segmentos, então as cevianas $AD$, $BE$, $CF$ concorrem se, e somente se,
$$
\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF} = 1\text{.}
$$
Prova: Primeiro provaremos que se as cevianas concorrem então a relação vale. Suponha que concorrem num ponto $P$. Seja $h$ a medida da altura de $P$ ao lado $BC$. Se $[\Delta]$ é a área de $\Delta$, então $[PBD] = \tfrac{1}{2}\cdot BD\cdot h$ e $[PCD] = \tfrac{1}{2}\cdot CD\cdot h$, portanto
$$
\frac{BD}{CD} = \frac{[PBD]}{[PCD]}\text{.}
$$
De modo análogo, obtemos
$$
\frac{BD}{CD} = \frac{[ABD]}{[ACD]}\text{,}
$$
portanto,
$$
\frac{[ABP]}{[ACP]} = \frac{[ABD] – [PBD]}{[ACD]-[PCD]} = \frac{\tfrac{BD}{CD}([ACD]-[PCD])}{[ACD]-[PCD]} = \frac{BD}{CD}\text{.}
$$
Finalmente,
$$
\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF} = \frac{[ABP]}{[ACP]}\cdot\frac{[BPC]}{[BPA]}\cdot\frac{[CPA]}{[CPB]} = 1\text{.}
$$
Para a volta, suponha que a relação é válida e seja $P$ a interseção de $BE$ e $CF$. Seja também $D’$ a interseção de $AP$ e $BC$. Pela ida do teorema, temos
$$
\frac{BD’}{CD’} = \frac{AE}{CE}\cdot\frac{BF}{AF} = \frac{BD}{CD}\text{.}
$$
Entretando, isso nos dá
$$
\frac{BD’}{CD’} + 1= \frac{BD}{CD} + 1\Rightarrow \frac{BC}{CD’} = \frac{BC}{CD}\Rightarrow CD = CD’\implies D = D’\text{.}$$∎
OBS: A condição de $1$ ou $3$ pontos no interior dos lados é apenas para que não precisemos nos preocupar com problemas de orientação. Ambos os teoremas apresentados nesse material tem versões com segmentos orientados, que corrigem esse problema, porém as versões apresentadas são mais didáticas e as julgamos mais adequadas para o material.
Confira o seguinte exemplo da aplicação deste teorema:
(Baricentro) Prove que as medianas relativas aos vértices do triângulo $ABC$ são concorrentes.
Solução: Sejam $D$, $E$, $F$ os pontos médios de $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Pelo teorema de Ceva, as medianas são concorrentes se, e somente se,
$$
\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF} = 1\text{,}
$$
mas $\frac{BD}{CD} = \frac{CE}{AE} = \frac{AF}{BF} = 1$, então estamos feitos. ∎
Menelaus
(Teorema de Menelaus) Sejam $D$, $E$, $F$ pontos sobre os lados $BC$, $CA$, $AB$, do triângulo $ABC$, respectivamente, tais que $0$ ou $2$ estão dentro dos respectivos segmentos, então $D$, $E$, $F$ são colineares se, e somente se,
$$
\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF} = 1\text{.}
$$
Prova: Primeiro provaremos que se a relação vale então os pontos são colineares. A volta é análoga à do teorema de Ceva, então iremos omití-la. As manipulações feitas também são análogas ás utilizadas anteriormente. Suponha que os pontos são colineares e sejam $h_a$, $h_b$, $h_c$ as distâncias de $A$, $B$, $C$ para a reta $\overline{DEF}$, respectivamente. Veja que
$$
\frac{BD}{CD} = \frac{[EBD]}{[ECD]} = \frac{[FBD]}{[FCD]} = \frac{[EDB] – [FDB]}{[EDC] – [FDC]} = \frac{[EBF]}{[ECF]} = \frac{h_b}{h_c}\text{.}
$$
Então
$$
\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF} = \frac{h_b}{h_c}\cdot\frac{h_c}{h_a}\cdot\frac{h_a}{h_b} = 1\text{.}$$∎
Confira o seguinte exemplo da aplicação deste teorema:
(Folclore) Seja $ABC$ um triângulo e $\Omega$ seu circuncírculo. A tangente por $A$, $B$, $C$ a $\Omega$ intersectam os lados $BC$, $CA$, $AB$ em $D$, $E$, $F$, respectivamente. Prove que $D$, $E$, $F$ são colineares.
Solução: Pela tangência, temos $\angle DAB = \angle DCA$, portanto os triângulos $DAB$ e $DCA$ são semelhantes. Daí
$$
\frac{BD}{AD} = \frac{AB}{AC}\quad \text{e} \quad\frac{CD}{AD} = \frac{AC}{AB}\textbf{,}
$$
logo $\frac{BD}{CD} = \frac{AB^2}{AC^2}$. Então
$$
\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF} = \frac{AB^2}{AC^2}\cdot\frac{BC^2}{BA^2}\cdot\frac{CA^2}{CB^2} = 1\text{,}
$$
e, pelo teorema de Menelaus, os pontos $D$, $E$, $F$ são colineares. ∎
Problemas
Problema 1. (Gergonne) Sejam $D$, $E$, $F$ os pontos de tangência do incírculo de $ABC$ com os lados $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Prove que as cevianas $AD$, $BE$, $CF$ são concorrentes.
Problema 2. (Ortocentro) Sejam $D$, $E$, $F$ os pés das alturas relativas a $A$, $B$, $C$, respectivamente. Prove que as cevianas $AD$, $BE$, $CF$ são concorrentes.
Problema 3. (Incentro) Sejam $D$, $E$, $F$ os pés das bissetrizes internas relativas a $A$, $B$, $C$, respectivamente. Prove que as cevianas $AD$, $BE$, $CF$ são concorrentes.
Problema 4. (Teorema de Monge) Sejam $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ circunferências. Sejam $X$, $Y$, $Z$ as interseções das tangentes externas comuns a $\omega_1$ e $\omega_2$, $\omega_2$ e $\omega_3$, $\omega_3$ e $\omega_1$, respectivamente. Prove que $X$, $Y$, $Z$ são colineares.
Problema 5. (EGMO 2013) Seja $ABC$ um triângulo e $D$ na extensão do lado $BC$ através de $C$ tal que $CD = BC$. Seja $E$ na extensão do lado $CA$ através de $A$ tal que $AE = 2CA$. Prove que se $AD=BE$, então $ABC$ é um triângulo retângulo.
Problema 6. (USAMO 2003) Seja $ABC$ um triângulo. Um círculo passando por $A$ e $B$ intersecta os segmentos $AC$ e $BC$ em $D$ e $E$, respectivamente. As retas $AB$ e $DE$ se intersectam em $F$ e as retas $BD$ e $CF$ se intersectam em $M$. Prove que $MF = MC$ se, e somente se, $MB\cdot MD = MC^2$.
Problema 7. (OBM 2005) A medida do ângulo $B$ de um triângulo $ABC$ é $120^{\circ}$. Sejam $M$ um ponto sobre o lado $AC$ e $K$ um ponto sobre o prolongamento do lado $AB$, tais que $BM$ é a bissetriz interna do ângulo $\angle ABC$ e $CK$ é a bissetriz externa correspondente ao ângulo $\angle ACB$. O segmento $MK$ intersecta $BC$ no ponto $P$. Prove que $\angle APM = 30^{\circ}$.
Problema 8. (OBM 2016) As bissetrizes internas dos ângulos $\angle ABC$ e $\angle ACB$ do triângulo $ABC$ se encontram no ponto $I$. A reta paralela a $BI$ que passa pelo ponto $A$ encontra a reta $CI$ no ponto $D$. A reta paralela a $CI$ por $A$ encontra a reta $BI$ no ponto $E$. As retas $BD$ e $CE$ se encontram no ponto $F$. Mostreque $F$, $A$ e $I$ são colineares se, e somente se, $AB= AC$.
Problema 9. (IMO 2019) Seja $I$ o incírculo do triângulo acutângulo $ABC$, com $AB\neq AC$. O incírculo $\omega$ toca os lados $BC$, $CA$, $AB$ em $D$, $E$, $F$, respectivamente. A reta por $D$ perpendicular a $EF$ inetrsecta $\omega$ novamente em $R$ e a reta $AR$ intersecta $\omega$ novamente em $P$. Os circuncírculos de $BPF$ e $CPE$ se intersectam novamente em $Q$. Prove que $PQ$, $DI$ e a reta por $A$ perpendicular a $AI$ são concorrentes.
Problema 10. (TM2 2019) Seja $ABC$ um triãngulo isósceles com $AB=AC$. Sejam $X$ e $K$ pontos sobre $AC$ e $AB$, respectivamente, tais que $KX = CX$. A bissetriz interna do ângulo $\angle AKX$ intersecta $BC$ em $Z$. Mostre que $XZ$ passa pelo ponto médio de $BK$.
Problema 11. (Cone Sul TST 2024) Dentro de um ângulo $\angle BOC$ existem três círculos disjuntos $k_1$, $k_2$ e $k_3$, cada um tangente aos lados $BO$ e $OC$. Sejam $r_1$, $r_2$ e $r_3$ os respectivos raios desses círculos, com $r_1Referências