Escrito por Rodolfo Rodrigues
Convenções
Vamos usar $(XYZ)$ para se referir ao circuncírculo do triângulo $\triangle XYZ$, $\operatorname{Pot}_{C}(P)$ a potência de ponto de $P$ em relação a circunferência $C$ e, quando necessário, $AB=-BA$ para se referir ao segmento direcionado $\overline{AB}$
Introdução
A linearidade da potência de ponto é uma propriedade que nos ajuda a caracterizar melhor um ponto dados outros dois na mesma reta.
Dadas duas circunferências $C_1, C_2$, defina $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ por
$$
f(X)=\operatorname{Pot}_{C_1}(X)-\operatorname{Pot}_{C_2}(X)
$$
Então $f$ será linear, isto é, para qualquer ponto $X$ em uma reta $BC$ qualquer:
$$
f(X)=\frac{BX \cdot f(C)+XC \cdot f(B)}{BC},
$$ onde $BX$ e $CX$ são segmentos direcionados.
Suponha que $X$ está no segmento $BC$. Sejam $O_1$ e $O_2$ os centros das circunferências $C_1, C_2$, respectivamente. Aplicando o Teorema de Stewart em $\triangle O_1 B C$ e $\triangle O_2 B C$, e subtraindo, obtemos que:
$$
BX (CO_1^2-CO_2^2)+ XC (BO_1^2-BO_2^2)=BC(XO_1^2-XO_2^2)
$$
$$
\iff \frac{BX(f(C)-(R_1^2-R_2^2))+XC(f(B)-(R_1^2-R_2^2))}{BC}= f(X)-(R_1^2-R_2^2)
$$
Como $BX+XC=BC$, a propriedade segue daí. Caso $X$ não esteja no segmento $BC$, verifica-se que o resultado também é válido, mas nesse caso temos que usar segmentos direcionados. Por exemplo, se a ordem dos pontos é $B-C-X$, $BX$ e $XC$ possuem orientações opostas, logo fazemos $XC=-CX$ para poder usar segmentos da maneira usual.
Em $\triangle ABC$, $D$ está na reta $BC$. Os circuncírculos de $ABD$ e $ADC$ encontram $AC$ e $AB$ em $F$ e $E$, respectivamente. Prove que, à medida que $D$ varia, o circuncírculo de $AEF$ passa por um ponto fixo diferente de $A$, e que esse ponto está na mediana de $A$ ao lado $BC$.
- (a) Seja $X=(AEF) \cap AM$. Queremos mostrar que $\operatorname{Pot}_{(AEF)}(M)$ é constate.
- (b) Ache a outra circunferência para definir a função $f$ e use LinPoP para calcular $f(M)$.
Seja $ABC$ um triângulo acutângulo e seja $M$ o ponto médio de $BC$. Uma circunferência $\omega$ passando por $A$ e $M$ encontra lados $AB$ e $AC$ nos pontos $P$ e $Q$ respectivamente. Seja $T$ o ponto tal que $APTQ$ é paralelograma. Suponha que $T$ está no circuncírculo de $ABC$. Determine todos os valores possíveis de $\frac{AT}{AM}$.
- (a) Como um paralelograma nos ajuda com uma função linear?
- (b) A maior dificuldade do problema está em calcular $AT$, então defina $f$ de modo que: $f(T)=AT^2$. (Dica: Uma das circunferencias tem raio 0.)
- (c) Finalize usando a relação em (a) e computando os segmentos.
Dado um triângulo $\triangle ABC$ de circuncentro $O$, seja $M$ o ponto médio de $BC$ e $D$ o pé de $A$ em $BC$. $OD$ encontra $AM$ em $P$. Prove que $P$ está no eixo radical de $(BOC)$ e o círculo de $9$ pontos de $ABC$.
- (a) Ache quais serão as duas circunferências usadas para definir nossa função.
- (b) Explore o que acontece na função se e somente se $P$ está nesse eixo radical.
- (c) Use trigonometria para demonstrar a relação em (b).
LinPoP com coordenadas baricêntricas
Vamos usar do seguinte resultado para conectar LinPoP com coordenadas baricêntricas:
Se $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}$ é uma função linear, e $(x,y,z)$ são as coordenadas baricêntricas normalizadas $(x+y+z=1)$ do ponto $P$ em relação a $\triangle ABC$, então:
$$
f(P)=xf(A)+yf(B)+zf(C).
$$
Se $P’=AP \cap BC$, é fácil ver que $P’=(0: y: z)$ e pela definição de função linear na reta $BCP’$:
$$
f(P’)=\frac{y}{y+z}f(B)+\frac{z}{y+z}f(C).
$$
Aplicando a definição novamente para $APP’$:
$$
f(P) =\frac{AP \cdot f(P’)+PP’ \cdot f(A)}{AP’}
$$
$$
=\frac{[PBC]}{[ABC]}f(A)+\left( 1-\frac{[PBC]}{[ABC]} \right) \left( \frac{y}{y+z}f(B)+\frac{z}{y+z}f(C) \right).
$$
Como $x=\frac{[PBC]}{[ABC]}$, e $1-\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{[PCA]}{[ABC]}+\frac{[PAB]}{[ABC]}=y+z$, o resultado segue.
Seja $\triangle ABC$ um triângulo com circuncentro $O$ e incentro $I$. Pontos $D$, $E$ e $F$ estão em $BC$, $CA$ e $AB$ respectivamente de modo que $BD+BF=CA$ e $CD+CE=AB$. $(BDF)$ e $(CDE)$ se intersectam em $P \neq D$. Prove que $OP=OI$.
- (a) Mostre que o problema é simétrico em todos os pontos, ou seja, $AE+AF=BC$ e $(AEFP)$ cíclico.
- (b) Qual potência de ponto precisamos calcular para acabar o problema?
- (c) Defina $f_A$, $f_B$ e $f_C$ de forma que fique o mais simétrico possível e meio que filtre, ajudando a calcular a potência em (b).
- (d) Finalize com algumas manipulações algébricas já que todas as equações são cíclica.
Heurísticas
- Potência de ponto é, antes de tudo, uma ferramenta de length bash, então se você consegue modificar o que o problema pede para ser expresso em termos de razões entre comprimentos, pode ser uma boa ideia usar LinPoP.
- Pontos médios, paralelismos, e reflexões se relacionam muito bem com LinPoP e às vezes facilitam calcular a potência de alguns pontos que não é imediata.
- Quase nunca os pontos corretos para aplicar potência de ponto vão estar imediatamente óbvios. Portanto, não tenha medo de introduzir vários pontos auxiliares.
- LinPoP pode ser muito útil em problemas envolvendo pontos ou circunferências fixos, como visto no exemplo 1. Mostrar que a potência de um determinado ponto permanece constante é bem subestimado.
- Lembre-se que LinPoP é só uma ferramenta, então provar lemas auxiliares e saber usar trigonometria vai te ajudar mais ainda a resolver os problemas.
Problemas propostos
$$
\frac{YX}{XZ}=\frac{BP}{PC}.
$$
Seja $ABCD$ um quadrilátero não cíclico. Prove que:
$$
\frac{1}{\operatorname{Pot}_{(A)}(BCD)}+\frac{1}{\operatorname{Pot}_{(B)}(ACD)}+\frac{1}{\operatorname{Pot}_{(C)}(ABD)}+\frac{1}{\operatorname{Pot}_{(D)}(ABC)}=0
$$
O incírculo de $\triangle ABC$ toca $BC$ em $D$. Seja $M$ o ponto médio do arco $BAC$, $P$ e $Q$ projeções de $M$ nas bissetrizes externas de $B$ e $C$, respectivamente. Prove que a reta $PQ$ bissecta $AD$.
Seja $ABCD$ um paralelograma. Seja $\ell$ a bissetriz externa de $\angle DCA$ e $\ell^{‘}$ a reta por $D$ paralela a $AC$. Suponha que $\ell^{‘}$ intersecta $AB$ em $E$ e $\ell$ em $F$, e que $\ell$ intersecta a bissetriz interna de $\angle BAC$ em $X$. A circunferencia $(EXF)$ encontra $BX$ em $Y \neq X$ e a bissetriz interna de $\angle DCA$ encontra $(AXC)$ em $Z \neq C$. Prove $D$, $X$, $Y$ e $Z$ conciclicos.
Prove que o ponto medio de $AN$ esta no eixo radical de $(OMG)$ e o circulo de diametro $AO$.
Seja $\triangle ABC$ um triângulo com circuncentro $O$, incentro $I$ e seja $D$ o ponto de contato do incírculo com o lado $BC$. Seja $M$ o ponto médio de $BC$ e seja $M’$ o reflexo de $M$ por $AI$. Então $M’D \perp OI$.
Seja $\triangle ABC$ um triangulo, $I_A$ o A-exincentro, $(ACI_A)$, $(ABI_A)$ intersectam os lados $AB$ e $AC$ em $D$ e $E$. $(ADE)$ corta $BC$ em $R$ e $S$ de modo que $R$ esta mais perto de $B$ do que $C$. Mostre que o incentro I de $ABC$ esta no eixo radical de $(SCD)$ e $(RBE)$.
Sejam $I$, $O$ e $G$ o incentro, circuncentro e baricentro de $\triangle ABC$, respectivamente. $IO$ e $IG$ cortam $BC$ em $X$ e $Y$, respectivamente. Seja $Z$ a reflexão de $Y$ pelo ponto médio de $\overline{BC}$. Prove que o circuncirculo de $\triangle AXZ$ passa pelo Sharky-Devil de $\triangle ABC$.
Soluções dos exemplos
Em $\triangle ABC$, $D$ está na reta $BC$. Os circuncírculos de $ABD$ e $ADC$ encontram $AC$ e $AB$ em $F$ e $E$, respectivamente. Prove que, à medida que $D$ varia, o circuncírculo de $AEF$ passa por um ponto fixo diferente de $A$, e que esse ponto está na mediana de $A$ ao lado $BC$.
Solução.
Defina $f(P)=\operatorname{Pot}_{(AEF)}(P)-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(P)$. Temos que
$$
f(M)
=\frac{1}{2}(f(B)+f(C))
$$
$$
=\frac{1}{2}(BF \cdot BA-0+ CE \cdot CA – 0)
$$
$$
=\frac{1}{2}(BD \cdot BC+ CD \cdot BC)
$$
$$
= \frac{BC^2}{2}.
$$
Assim, segue que $\operatorname{Pot}_{(AEF)}(M)$ é constante.
Seja $ABC$ um triângulo acutângulo e seja $M$ o ponto médio de $BC$. Uma circunferência $\omega$ passando por $A$ e $M$ encontra lados $AB$ e $AC$ nos pontos $P$ e $Q$ respectivamente. Seja $T$ o ponto de modo que $APTQ$ é paralelograma. Suponha que $T$ está no circuncírculo de $ABC$. Determine todos os valores possíveis de $\frac{AT}{AM}$.
Solução.
Seja $(A)$ a circunferencia de centro $A$ e raio $0$. Defina $f(P)=\operatorname{Pot}_{(A)}(P)-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(P)$.
Pela linearidade de $f$ segue que:
$$
f(A)+f(T)=2f(AT \cap PQ)=f(P)+f(Q)
$$
Logo,
$$
AT^2=PA^2-(-BP \cdot PA)+QA^2-(-CQ \cdot QA)=PA\cdot BA+QA\cdot CA
$$
Ainda podemos melhorar a expressao, percebendo que:
$$
AT^2=AB^2+AC^2-(BP\cdot BA+CQ\cdot CA)=AB^2+AC^2-(BR\cdot BM+CR\cdot CM)=AB^2+AC^2-BC^2/2
$$
Para concluir, vamos calcular $AM^2$. Por Stewart:
$$
\frac{BC}{2}(AB^2+AC^2)=BC \cdot \left(AM^2 +\frac{BC^2}{4}\right)
$$
Assim, $\frac{AT}{AM}=\sqrt{2}$.
Perceba que nessa solução só usamos o que $T$ está na circunferencia no momento que calculamos $\operatorname{Pot}_{(ABC)}(T)$, então não tivemos que deduzir nenhuma outra propriedade auxiliar para fazer um desenho preciso.
Dado um triângulo $\triangle ABC$ de circuncentro $O$, seja $M$ o ponto médio de $BC$ e $D$ o pé de $A$ em $BC$. $OD$ encontra $AM$ em $P$. Prove que $P$ está no eixo radical de $(BOC)$ e o círculo de $9$ pontos de $ABC$.
Solução.
Seja $H$o ortocentro de $ABC$, $\omega$ o circulo de nove pontos de $ABC$, e $E$ o ponto médio de $AH$. Defina $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ por $f(P)=\operatorname{Pot}_{(BOC)}(P)-\operatorname{Pot}_{\omega}(P)$.
Basta provar que:
$$
0=f(P)=\frac{OP}{OD} f(D)+\frac{PD}{OD}f(O) \iff \frac{OP}{DP}=-\frac{f(O)}{f(D)}
$$
Usando as propriedades da reta de Euler:
$$
f(O) =-\operatorname{Pot}_{\omega}(O)=-\operatorname{Pot}_{\omega}(H)=EH \cdot HD=(R \cos A)(2R\cos B \cos C)
$$
$$
f(D) =\operatorname{Pot}_{(BOC)}(D)=-BD \cdot DC=-(AB \cos B)(AC \cos C)
$$
Logo,
$$
-\frac{f(O)}{f(D)}=\frac{2R^2 \cos A}{AB \cdot AC}
$$
Pelo paralelismo,
$$
\frac{OP}{DP}=\frac{OM}{DA}=\frac{R \cos A}{AB \sin B}=\frac{2R^2 \cos A}{AB \cdot AC}
$$
Ok!
Seja $\triangle ABC$ um triângulo com circuncentro $O$ e incentro $I$. Pontos $D$, $E$ e $F$ estão em $BC$, $CA$ e $AB$ respectivamente de modo que $BD+BF=CA$ e $CD+CE=AB$. $(BDF)$ e $(CDE)$ se intersectam em $P \neq D$. Prove que $OP=OI$.
Solução.
É fácil ver que $AE+AF=BC$ e $P \in (AEF)$ por Miquel. Sejam $(x,y,z)$ as coordenadas baricêntricas de $P$ em relação a $\triangle ABC$. Defina:
$$
f_A(X)=\operatorname{Pot}_{(AEF)}(X)-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(X)
$$
$$
f_B(X)=\operatorname{Pot}_{(BDF)}(X)-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(X)
$$
$$
f_C(X)=\operatorname{Pot}_{(CDE)}(X)-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(X)
$$
Temos
$$
-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(P)=xf_A(A)+yf_A(B)+zf_A(C)=y(c \cdot BF)+z(b \cdot CE)
$$
$$
= xf_B(A)+yf_B(B)+zf_B(C)=z(a \cdot CD)+ x(c \cdot AF)
$$
$$
= xf_C(A)+yf_C(B)+zf_C(C)=x(b \cdot AE)+ y(a \cdot BD)
$$
Logo,
$$
-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(P) \cdot \sum_{cyc}a=\sum_{cyc}ayc \cdot BF+zab \cdot CE=\sum_{cyc}ayc(BF+BD)=abc(x+y+z)=abc
$$
Finalmente, pelo teorema de Euler,
$$
-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(P)=\frac{abc}{a+b+c}=\frac{4R [ABC]}{\frac{2 [ABC]}{r}}=2Rr=-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(I).
$$
Dicas
Calcule $f(M’)$ com as circunferêcias mais simples e transforme a condição de perpendicularidade em medidas.
Defina os pontos $D$ e $E$ de uma maneira melhor e use LinPoP com bary.
Reduza o enunciado usando Forgotten (o Teorema Esquecido da Coaxialidade), use LinPoP e confie muito na trigonometria para calcular as potências de $X$ e de $Z$. Não é uma conta difícil por ser longa mas tem que ter sagacidade para manipular os termos da forma certa.
Referências
- Power of a Point, Albert Zhu
- Different Perspectives on Power of a Point, Yerkebulan Bolat
Quaisquer dúvidas ou sugestões podem ser enviadas para o meu e-mail: rorcf2010@gmail.com