Escrito por Rodolfo Rodrigues
Convenções
Vamos usar $(XYZ)$ para se referir ao circuncírculo do triângulo $\triangle XYZ$, $R_{XYZ}$ para o raio de $(XYZ)$, e $\operatorname{Pot}_{C}(P)$ a potência de ponto de $P$ em relação a circunferência $C$.
Introdução
O Teorema Esquecido da Coaxialidade, ou “Forgotten” como é conhecido em fóruns como AoPS, é uma ferramenta poderosa para problemas onde precisamos provar que três circunferências são coaxiais. Usando ele conseguimos converter a dificuldade do problema para o cálculo de algumas razões.
Teorema Esquecido da Coaxialidade. Sejam $ C_1 $ e $ C_2 $ circunferências que se intersectam em $ A $ e $ B $. Seja $C_3$ uma circunfêrencia passando por $A$ e $B$. Então, $C_3$ é o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que:
$$\frac{\operatorname{Pot}_{C_1}(P)}{\operatorname{Pot}_{C_2}(P)} = k $$ onde $k$ é uma constante.
Demonstração.
Sejam $S$ e $T$ pontos quaisquer, $S_1=AS \cap C_1$, $S_2=AS \cap C_2$, $T_1=BT \cap C_1$, $B_2=BT \cap C_2$.
Primeiro assuma que $S$ e $T$ estão ambos em $C_3$.
Basta mostrar que:
$$\frac{\operatorname{Pot}_{C_1}(S)}{\operatorname{Pot}_{C_2}(S)}=\frac{SA \cdot SS_1}{SA \cdot SS_2} = \frac{TB \cdot TT_1}{TB \cdot TT_2}=\frac{\operatorname{Pot}_{C_1}(T)}{\operatorname{Pot}_{C_2}(T)} \iff$$
$$\frac{SS_1}{SS_2} = \frac{TT_1}{TT_2}$$
Que é verdade pois uma breve marcação de ângulo revela $S_1T_1 \parallel ST \parallel S_2T_2$ devido aos três segmentos serem concíclicos com $AB$.
Agora, resta mostrar que se $\frac{\operatorname{Pot}_{C_1}(S)}{\operatorname{Pot}_{C_2}(S)}=\frac{\operatorname{Pot}_{C_1}(T)}{\operatorname{Pot}_{C_2}(T)}$, vale que $ABST$ é cíclico, mas como a demonstração é análoga, fica como exercício para o leitor.
Problemas exemplo
Exemplo 1 (Miquel com Forgotten). Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo, $M$ seu ponto de Miquel e E a interseção das retas $AB$ e $CD$. Demonstre que os pontos médio $AB$ e $CD$ estão sobre uma circunferência que passa por $M$ e $E$.
Solução.
Sejam $P$ e $Q$ os pontos médios de $AB$ e $CD$ respectivamente. Perceba que, por Forgotten, basta que:
$$\frac{\operatorname{Pot}_{(ADE)}(P)}{\operatorname{Pot}_{(BCE)}(P)}=\frac{\operatorname{Pot}_{(ADE)}(Q)}{\operatorname{Pot}_{(BCE)}(Q)} \iff$$
$$ \frac{PA \cdot PE}{PE \cdot PB}=\frac{QD \cdot QE}{QE \cdot QC} \iff$$
$$1=1$$
OK!
Exemplo 2 (G8 IMO Shortlist 2012). Seja $ABC$ um triângulo com circumcírculo $\omega$ e $\ell$ uma reta que não intersecta $\omega$. Denote por $P$ o pé da perpendicular do centro de $\omega$ até $\ell$. As retas $BC$, $CA$, e $AB$ intersectam $\ell$ nos pontos $X$, $Y$, e $Z$ diferentes de $P$. Prove que os circumcírculos dos triângulos $AXP$, $BYP$, e $CZP$ tem um ponto comum diferente de $P$ ou são tangentes em $P$.
Solução.
Sejam $E$ e $F$ as interseções das retas $AB$ e $AC$ com os circuncírculos de $CPZ$ e $BPY$, respectivamente. Pelo Teorema 1, o problema se reduz a mostrarmos que:
$$ \frac{\operatorname{Pot}_{(BPY)}(X)}{\operatorname{Pot}_{(CPZ)}(X)}=\frac{\operatorname{Pot}_{(BPY)}(A)}{\operatorname{Pot}_{(CPZ)}(A)}$$
$$ \frac{XY \cdot XP}{XP \cdot XZ}=\frac{AB \cdot AE}{AC \cdot AF}$$
Para provar esse tipo de equação de razões, somos motivados a buscar algum triângulo para aplicar Menelaus. Nesse caso, o triângulo mais promissor é o $A Y Z$, que nos dá:
$$\frac{XY}{XZ}\cdot\frac{BZ}{BA}\cdot\frac{CA}{CY}=1$$
Assim basta que:
$$ \frac{CY}{BZ}=\frac{AE}{AF} \iff $$
$$ AE \cdot BZ=AF \cdot CY\iff$$
$$ (BE-AB) \cdot BZ=(CF-AC) \cdot CY \iff$$
$$ BE\cdot BZ-AB \cdot BZ=CF\cdot CY-AC \cdot CY \iff$$
$$ ZP\cdot YZ-AB \cdot BZ=YP\cdot YZ-AC \cdot CY \iff$$
$$ ZP\cdot YZ-YP\cdot YZ=AB \cdot BZ-AC \cdot CY= \operatorname{Pot}_{(ABC)}(Z)-\operatorname{Pot}_{(ABC)}(Y) \iff$$
$$ ZP^2-YP^2=OZ^2-OY^2$$
OK!
Exemplo 3 (G7 IMO Shortlist 2017). Um quadrilátero convexo $ABCD$ possui um círculo inscrito de centro $I$. Sejam $I_a$, $I_b$, $I_c$, e $I_d$ os incentros dos triângulos $DAB$, $ABC$, $BCD$, e $CDA$, respectivamente. Suponha que as tangentes comuns externas dos círculos $AI_bI_d$ e $CI_bI_d$ se encontram em $X$, e as tangentes comuns externas dos círculos $BI_aI_c$ e $DI_aI_c$ se encontram em $Y$. Prove que $\angle XIY=90 ^{\circ}$.
Solução.
Primeiramente vamos mostrar que $I_aI_c \perp B D$. Sejam $P$, $Q$, e $T_a$ os pontos de tangência do incírculo de $ABD$ em $DA$, $AB$, e $BD$, respectivamente. Analogamente sejam R, S, e $T_c$ os pontos de tangência do incírculo de $BCD$ em $BC$, $CD$, e $BD$.
Pelo teorema de Pitot:
$AB+CD=BC+AD$
$AQ+QB+CS+SD=BR+RC+AP+PD$
$QB+SD=BR+PD$
$BT_a+DT_c=BT_c+DT_a$.
Sabemos também que:
$BT_a+DT_a=BD=BT_c+DT_c \implies BT_a=BT_c \implies T_a \equiv T_c$ $\square$.
Analogamente também vale que $I_bI_d \perp A C$.
Sejam $O_A$, $O_B$, $O_C$, e $O_D$ os centros das circunferências $AI_bI_d$, $BI_aI_c$, $CI_bI_d$ e $DI_aI_c$. Pelo nosso diagrama, somos motivados a provar que $A-O_A-I$, $B-O_B-I$, $C-O_C-I$, e $D-O_D-I$ colineares.
Verdade, uma vez que:
$$\angle I_a D O_D = 90^{\circ}-\angle I_a I_c D = \angle I_C D B =\frac{1}{2} \angle BDC=\frac{1}{2} (\angle ADC-\angle ADB)= \angle A D I-\angle A D I_a =\angle I_a D I$$
Agora, para que tenhamos alguma forma de calcular $\angle XIY$, é natural neste ponto termos que provar alguma ciclicidade. Por isso, somos motivados a demonstrar $XI_bII_d$ cíclicos.
Por conta do Teorema 1, basta que:
$$ \frac{\operatorname{Pot}_{(AI_bI_d)}(X)}{\operatorname{Pot}_{(CI_bI_d)}(X)}=\frac{\operatorname{Pot}_{(AI_bI_d)}(I)}{\operatorname{Pot}_{(CI_bI_d)}(I)}$$
Pela condição da tangência, sabemos:
$$\frac{\operatorname{Pot}_{(AI_bI_d)}(X)}{\operatorname{Pot}_{(CI_bI_d)}(X)}=\frac{R_{AI_bI_d}^2}{R_{CI_bI_d}^2}$$
Além disso, como $I_b I_d \perp AC$ pelo que provamos e $I_b I_d \perp O_AO_C$ pelo eixo radical, segue que $AC \parallel O_A O_C$, assim $\frac{IO_A}{IO_C}=\frac{AO_A}{CO_C}=\frac{R_{AI_bI_d}}{R_{CI_bI_d}} $ e portanto:
$$\frac{\operatorname{Pot}_{(AI_bI_d)}(I)}{\operatorname{Pot}_{(CI_bI_d)}(I)} = \frac{IO_A^2-R_{AI_bI_d}^2}{IO_C^2-R_{CI_bI_d}^2}=\frac{R_{AI_bI_d}^2}{R_{CI_bI_d}^2} $$
Note também que, usando $XI_b=XI_d$ juntamente com a ciclicidade vale que $\angle XII_b=\angle XII_d$ por enxergarem arcos de mesmo tamanho.
Analogamente podemos provar também que $\angle YII_a=\angle YII_c$.
Finalmente:
$$\angle XIY=\angle XII_b+\angle YII_a -\angle I_aII_b$$
$$=\frac{1}{2}\angle I_dII_b+\frac{1}{2}\angle I_cII_a-\angle AIB$$
$$=\frac{1}{2}( \angle DIB+\angle CIA-2\angle AIB) $$
$$=\frac{1}{2}(\angle DIA+\angle AIB+\angle CIB+\angle AIB-2\angle AIB)$$
$$=\frac{1}{2}(\angle DIA+\angle CIB)$$
$$=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADI-\angle DAI+180^{\circ}-\angle BCI-\angle CBI)$$
$$=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ADI+\angle DAI+\angle BCI+\angle CBI)$$
$$=90^{\circ}$$
OK!
Problemas propostos
Alguns dos problemas, assim como no exemplo 3, necessitam de observações sintéticas antes da aplicação direta do teorema. Dicas de alguns na última página. Bons estudos!
Problema 1 (Existência dos pontos isodinâmicos). No triângulo $\triangle ABC$, defina o círculo de Apolônio referente ao vértice $A$ como o lugar geométrico dos pontos $P$ onde $\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC}$. Prove que os três círculos de Apolônio de um triângulo não equilátero são coaxiais.
Problema 2 (G5 IMO Shortlist 2005). Seja $\triangle A B C$ um triângulo acutângulo onde $AB \neq AC$. Seja $H$ o ortocentro do triângulo $ABC$, e seja $M$ o ponto médio do lado $BC$. Seja $D$ um ponto no lado $AB$ e $E$ um ponto no lado $AC$ de modo que $AE=AD$ e os pontos $D$, $H$, $E$ estão na mesma reta. Prove que a reta $HM$ é perpendicular ao eixo radical dos circuncírculos de $\triangle ADE$ e $\triangle ABC$.
Problema 3 (CGMO 2017/7). Seja $ABCD$ um quadrilátero cíclico com circuncírculo $\omega_1$. As retas $AC$ e $BD$ se intersectam no ponto $E$, e as retas $AD$ e $BC$ no ponto $F$. A circunferência $\omega_2$ é tangente aos segmentos $EB$, $EC$ nos pontos $M$ e $N$, respectivamente, e intersecta $\omega_1$ em $Q$ e $R$. Retas $BC$ e $AD$ intersectam a reta $MN$ em $S$ e $T$, respectivamente. Mostre que $Q$, $R$, $S$ e $T$ são concíclicos.
Problema 4 (G6 IMO Shortlist 2015). Seja $\triangle ABC$ um triângulo acutângulo com $AB>AC$. Seja $\Gamma$ seu circuncírculo, $H$ seu ortocentro, e $F$ o pé da altura de $A$. Seja $M$ o ponto médio de $BC$. Seja $Q$ o ponto em $\Gamma$ de modo que $\angle HQA=90^{\circ}$ e seja $K$ o ponto em $\Gamma$ de modo que $\angle HKQ=90^{\circ}$. Assuma que os pontos $A$, $B$, $C$, $K$ e $Q$ são todos distintos e estão sobre $\Gamma$ nessa ordem. Prove que os circuncírculos de $KQH$ e $FKM$ são tangentes.
Problema 5 (AoPS). Em $\triangle ABC$, sejam $D$, $E$, e $F$ os pontos de contato do incírculo com $BC$, $CA$ e $AB$, respectivamente. Se $P$ é o pé da altura de $D$ em $EF$, $X=AB \cap CP$ e $Y=AC \cap BP$, então prove que $(AXY)$, $(AEF)$ e $(ABC)$ se encontram em um ponto diferente de $A$.
Problema 6 (Vi em um sonho). Sejam $AD$, $BE$, $CF$ as alturas do triângulo escaleno $\triangle ABC$ com circuncentro $O$. Prove que $(AOD)$, $(BOE)$ e $(COF)$ são coaxiais e que seu eixo radical é a reta de Euler.
Problema 7 (SMO 2020/5). No triângulo $\triangle ABC$, sejam $E$ e $F$ pontos nos lados $AC$ e $AB$, respectivamente, de modo que $BFEC$ é cíclico. Seja $P$ a interseção das retas $BE$ e $CF$, e $M$ e $N$ os pontos médios de $BF$ e $CE$, respectivamente. Se $U$ é o pé da perpendicular de $P$ até $BC$, e os circuncírculos de $\triangle BMU$ e $\triangle CNU$ se intersectam em $V \neq U$, prove que $A$, $P$ e $V$ são colineares.
Problema 8 (G6 IMO SL 2024). Seja $\triangle ABC$ um triângulo acutângulo com $AB \neq AC$, e seja $\Gamma$ o circumcírculo de $ABC$. Pontos $X$ e $Y$ estão em $\Gamma$, de modo que $XY$ e $BC$ se intersectam na bissetriz externa de $\angle BAC$. Suponha que as tangentes a $\Gamma$ em $X$ e $Y$ se intersectam no ponto $T$ no mesmo lado de $BC$ que $A$, e que $TX$ e $TY$ intersectam $BC$ em $U$ e $V$, respectivamente. Seja $J$ o centro do exincírculo do triângulo $TUV$ oposto ao vértice $T$.
Prove que $AJ$ bissecta $\angle BAC$.
Problema 9 (European Mathematical Cup 2016/4). Sejam $C_1$, $C_2$ círculos se intersectando em $X$ e $Y$. Sejam $A$, $D$ pontos em $C_1$ e $B$, $C$ em $C_2$ de modo que $A$, $X$, $C$ são colineares e $D$, $X$, $B$ são colineares. A tangente a $C_1$ por $D$ intersecta $BC$ e a tangente a $C_2$ por $B$ em $P$, $R$ respectivamente. A tangente a $C_2$ por $C$ intersecta $AD$ e a tangente a $C_1$ por $A$ em $Q$, $S$ respectivamente. Seja $W$ a interseção de $AD$ com a tangente a $C_2$ por $B$ e $Z$ a interseção de $BC$ com a tangente a $C_1$ por $A$. Prove que os circuncírculos dos triângulos $YWZ$, $RSY$ e $PQY$ possuem dois pontos em comum ou são tangentes no mesmo ponto.
Problema 10 (ELMO 2017/2). Seja $ABC$ um triângulo com ortocentro $H$, e seja $M$ ponto médio de $BC$. Suponha que $P$ e $Q$ são pontos distintos no círculo de diâmetro $AH$ diferentes de $A$ de modo que $M$ está na reta $PQ$. Prove que o ortocentro de $\triangle APQ$ está no circuncírculo de $\triangle ABC$.
Problema 11 (Mandacaru Fase 3 2023). Seja $ABCD$ um paralelogramo com $AB=BD$. Seja $K$ um ponto em $AB$ diferente de $A$, de modo que $KD=AD$. Seja $M$ o ponto simétrico a $C$ com respeito a $K$, e $N$ o ponto simétrico a $B$ com respeito a $A$. Prove que $DM=DN$.
Problema 12 (China Southeast 2017). Seja $ABC$ um triângulo escaleno e acutângulo e $D$ o ponto médio de $BC$. Sejam $E$ e $F$ os pés das alturas de $D$ em $AB$ e $AC$ respectivamente. Seja $K$ o ponto médio de $AD$. As retas $KE$, $KF$ intersectam a reta $BC$ em $M$, $N$, respectivamente. Prove que a reta $BC$ é paralela à reta pelos circuncentros dos triângulos $DEM$ e $DFN$.
Problema 13 (USA TST 2022/2). Seja $ABC$ um triângulo acutângulo. Seja $M$ o ponto médio do lado $BC$ e sejam $E$ e $F$ os pés das alturas de $B$ e $C$, respectivamente. Suponha que as tangentes externas comuns dos circuncírculos de $BME$ e $CMF$ se intersectam em $K$, e que $K$ está no circuncírculo de $ABC$. Prove que $AK$ é perpendicular a $BC$.
Problema 14 (USAMO 2023/6). Seja $ABC$ um triângulo com incentro $I$ e exincentros $I_a$, $I_b$, $I_c$ opostos a $A$, $B$, $C$, respectivamente. Dado um ponto $D$ no circuncírculo de $\triangle ABC$ que não está sobre as retas $II_a$, $I_bI_c$, ou $BC$, suponha que os circuncírculos de $\triangle D I I_a$ e $\triangle D I_b I_c$ intersectam em dois pontos distintos $D$ e $F$. Se $E$ é a interseção das retas $DF$ e $BC$, prove que $\angle BAD= \angle EAC$.
Problema 15 (Reta de Gauss-Bodenmiller). Seja $ABCDEF$ um quadrilátero completo. Mostre que as circunferências de diâmetros $AC$, $BD$ e $EF$ são coaxiais.
Dicas
Problema 2. Seja $Q$ o Queue point, isto é, a interseção do círculo de diâmetro $AH$ com $(ABC)$. É bem conhecido que $AQ$ é perpendicular a $HM$ em $Q$. Marque alguns pontos úteis e escolha as circunferências adequadas para o forgotten.
Problema 6. Tente descobrir qual será o ponto de concorrência.
Problema 8. Defina $N$ como o ponto médio do arco $\widehat{BC}$. Sejam $W$ e $Z$ as interseções da reta $BC$ com $NX$ e $NY$.
Problema 10. Seja $X$ o pé de $A$ em $QP$. Mostre que $X$ está no círculo de diâmetro $\overline{AM}$, denotado de $(AM)$. Calcule $\frac{\operatorname{Pot}_{(AH)}(Z)}{\operatorname{Pot}_{(AM)}(Z)}$ para três escolhas úteis de ponto $Z$, um deles ainda não está no diagrama.
Problema 11. Marque ângulo para mostrar que $CK$ é tangente a $(AKD)$ e que $AD$ é tangente a $(BCDK)$.
Problema 15. Calcule vários alguns senos usando trigonometria para demonstrar que $\frac{EA}{ED}\cdot\frac{EC}{EB}=\frac{FD}{FC}\cdot\frac{FA}{FB}$.
Referências
- A Forgotten Coaxiality Lemma, Stanisor Stefan Dan
- Different Perspectives on Power of a Point, Yerkebulan Bolat
Quaisquer dúvidas ou sugestões podem enviar para o meu e-mail: rorcf2010@gmail.com