Escrita por Antônio Ítalo
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Questão 1:
No início do século XX, mais exatamente em 1905, Albert Einstein mostrou através dos postulados da relatividade restrita que a velocidade da luz é a máxima velocidade possível de se atingir no universo.
a) Se um objeto pudesse se movimentar com a velocidade da luz quantas voltas por segundo ao redor da Terra este objeto realizaria?
b) Qual a velocidade angular do objeto? (resposta em radianos/s)
c) Qual a freqüência de revolução deste objeto ao redor da Terra?
[spoiler title=’Assuntos Abordados’ style=’default’ collapse_link=’true’]Movimento circular uniforme [/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Inicialmente, devemos calcular a distancia ($$D$$) percorrida pelo objeto em função do número de voltas. Para uma volta, é valido:
$$ \Delta S=2 \pi R_{terra}$$ $$\rightarrow$$ $$ \Delta S=3,84*10^{7}$$ $$m \approx 3,8*10^{7}$$ $$m$$
Para n voltas, então:
$$D=n \Delta S$$ $$\rightarrow$$ $$D=3,84*10^{7}*n$$ $$m \approx 3,8*10^{7}*n$$ $$m$$
Como é um movimento circular uniforme:
$$D=c*\Delta t$$ $$\rightarrow$$ $$3,84*10^{7}*n=3*10^{8}*\Delta t$$
Portanto:
$$\frac{n}{\Delta t}=7,8125$$ voltas por segundo $$\approx 8$$ voltas por segundo
b) Por ser um M.C.U, é válida a relação:
$$c=\omega R_{terra}$$
Logo:
$$\omega=46,875$$ $$rad/s$$ $$\approx 5*10$$ $$rad/s$$
c) Sabe-se que, no M.C.U, $$\omega=2$$π$$f$$, onde $$f$$ é a frequência, portanto:
$$ f= \frac{\omega}{6} $$
$$f= 7,8125 $$ $$Hz$$ $$\approx 8$$ $$Hz$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$7.8125$$ voltas por segundo $$\approx 8$$ voltas por segundo
b) $$46.875$$ $$rad/s$$ $$\approx$$ $$5*10$$ $$rad/s$$
c) $$7.8125$$ $$Hz$$ $$\approx 8$$ $$Hz$$
[/spoiler]
Questão 2:
Isaac Newton mostrou que a lei de força entre dois corpos celestes obedecia à seguinte equação:
$$ F=\frac{GMm}{r^2} $$
onde $$F$$ é o módulo da força, $$M$$ e $$m$$ as massas dos corpos celestes, $$r$$ a distancia entre ambos e $$G$$ é a constante universal da gravitação. Determine qual é a unidade de $$G$$ a partir das unidades de espaço, massa e tempo no Sistema Internacional.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Análise Dimensional[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
É importante lembrar que as unidades fundamentais do S.I são: metro,segundo,ampere,candela,quilograma,mol e kelvin.
É importante saber que ao igualar duas grandezas físicas também deve-se igualar as suas dimensões, ou seja, as dimensões nos dois lados da lei da gravitação universal são iguais:
$$[F]=\frac{[G][M]^2}{[L]^2}$$
Onde os [ ] significam a dimensão da grandeza dentro dos mesmos. Pela segunda lei de Newton, sabemos que:
$$[F]=[M][L][T]^{-2}$$
Substituindo na lei da gravitação universal:
$$[M][L][T]^{-2}=[G][M]^{2}[L]^{-2}$$ $$\rightarrow$$ $$[G]=[M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2}$$
No S.I, então, a unidade de $$G$$ é:
$$\frac{m^3}{kg*s^2}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\frac{m^3}{kg*s^2}$$
[/spoiler]
Questão 3:
A posição de um móvel em movimento retilíneo, entre $$0$$ e $$8$$ segundos, é descrita pelo gráfico (a seguir) da posição $$x$$ como função do tempo $$t$$ . Responda aos itens abaixo a partir de informações contidas gráfico.
a) Qual a velocidade média do móvel entre $$0$$ e $$8$$ segundos?
b) Escreva a equação horária $$x(t)$$ que o móvel descreve no intervalo de $$0$$ a $$2$$ segundos.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) A definição de velocidade média no eixo x entre dois instantes $$t_{0}$$ e t é:
$$V_{media}=\frac{x_{t}-x_{t_{0}}}{t-t_{0}}$$
Portanto, como x é o mesmo nos instantes $$t=0$$ $$s$$ e $$t=8$$ $$s$$:
$$V_{media}=0$$ $$m/s$$
b) No gráfico, observa-se que nesse intervalo de tempo a função é uma reta, portanto, para calcular o coeficiente angular (B):
$$B=\frac{10-0}{2-0}$$ $$\rightarrow$$ $$B=5,0$$ $$m/s$$
Para calcular o coeficiente linear (A), deve-se simplesmente observar que em $$t=0$$ $$s$$, $$x=0$$ $$m$$, portanto:
$$A=0$$ $$m$$
Com isso:
$$x(t)=5,0t$$
Onde $$t$$ está em segundos e $$x$$ em metros
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$ 0 $$ $$m/s$$
b) $$ x(t)=5,0t$$
Onde $$t$$ está em segundos e $$x$$ em metros
[/spoiler]
Questão 4:
Um motorista descuidado deixa seu carro estacionado sem acionar o freio de mão. Este carro ganha velocidade e acaba caindo de uma altura $$H$$. A trajetória descrita pelo carro esta indicada na figura abaixo. Determine o valor da altura $$H$$. Esta indicado no eixo horizontal a posição do carro a cada 1 segundo durante a queda.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Lançamento horizontal[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]Um lançamento horizontal pode ser decomposto em dois movimentos independentes, um vertical e um horizontal, sabendo disso, pode-se utilizar as equações do M.R.U.V para o eixo y, pois este possui aceleração constante e de módulo igual a $$10$$ $$m/s^{2}$$. Tomando o solo como $$Y=0$$ e o sentido positivo do eixo $$Y$$ para cima:
$$Y(t)=H-\frac{10t^2}{2}$$ $$\rightarrow$$ $$Y(t)=H-5t^2$$
Fazendo $$t=3$$ $$s$$ $$Y$$ deve ser zero, logo:
$$0=H-5*3^2$$
Portanto:
$$H=45$$ $$m$$ $$\approx 5*10$$ $$m$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link’true’]
$$ 45 $$ $$m$$ $$\approx 5*10 $$ $$m$$
[/spoiler]
Questão 5:
Uma bola de tênis é solta de uma altura de $$10$$ metros, movimentando-se em queda livre. Ao se chocar com o solo a bola perde $$20$$% da sua energia mecânica total.
a) Quantas colisões com o chão são necessárias para que a altura máxima que a bola atinge, após a colisão, seja menor que $$0,5$$ metro.
b) Qual a velocidade imediatamente após a terceira colisão com o solo.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Energia e Colisões[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para a resolução dessa questão é necessário lembrar que a energia potencial gravitacional deve ser escrita na forma:
$$E_{pot}=mgh$$ (O nivel de referencia tomado foi o solo)
Como 20% da energia do corpo é perdida a cada colisão, pode-se escrever:
$$mgh_{n}=0,8*mgh_{n-1}$$ $$\rightarrow$$ $$h_{n}=0,8*h_{n-1}$$
Portanto, as alturas estão em uma P.G de razão 0,8. Lembrando da fórmula para o n-ésimo termo de uma P.G, se obtém:
$$h_{n}=10*(0,8)^{n}$$
Pode-se então montar a tabela:
| Número de colisões | Altura máxima ($$m$$) |
| $$0$$ | $$10,00$$ |
| $$1$$ | $$8,00$$ |
| $$2$$ | $$6,40$$ |
| $$3$$ | $$5,12$$ |
| $$4$$ | $$4,10$$ |
| $$5$$ | $$3,28$$ |
| $$6$$ | $$2,62$$ |
| $$7$$ | $$2,10$$ |
| $$8$$ | $$1,68$$ |
| $$9$$ | $$1,34$$ |
| $$10$$ | $$1,07$$ |
| $$11$$ | $$0,86$$ |
| $$12$$ | $$0,69$$ |
| $$13$$ | $$0,55$$ |
| $$14$$ | $$0,44$$ |
Logo, são necessárias $$14$$ colisões.
b) Sabe-se que após a terceira colisão a altura máxima obtida é de $$5,12$$ $$m$$, portanto, pela conservação da energia mecânica no movimento de subida:
$$5,12*mg=\frac{mv^2}{2}$$ $$\rightarrow$$ $$v=\sqrt {102,4}$$
Como a prova não forneceu valores para as raízes de 2 e 5, fatoraremos e racionalizaremos encontrando:
$$v=3,2*\sqrt {10}$$ $$m/s$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$14$$ colisões
b) $$v=3,2*\sqrt {10}$$ $$m/s$$
[/spoiler]
Questão 6:
Um carrinho de massa m com velocidade $$v$$ movimenta-se sobre uma superfície horizontal conforme a figura abaixo. Este carrinho choca-se com uma mola de constante elástica $$k$$. Determine qual é a deformação máxima ($$\Delta x$$) da mola? (desconsidere todos os efeitos de quaisquer tipos de atrito neste sistema).
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação da energia[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para a resolução dessa questão deve-se lembrar que a energia potencial de uma mola deformada em $$\Delta$$x é dada por:
$$E_{pot}=\frac{k\Delta x^2}{2}$$
Como a questão diz para desconsiderar o efeito de qualquer tipo de atrito, pode-se afirmar que a energia mecânica do sistema irá se conservar, portanto:
$$\frac{mv^2}{2}=\frac{k\Delta x^{2}}{2}$$ $$\rightarrow$$ $$\Delta x=v\sqrt\frac{m}{k}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\Delta x=v\sqrt\frac{m}{k}$$
[/spoiler]
Questão 7:
Nas proximidades de um lago, com um volume de aproximadamente $$4,0*10^{11} m^3$$ de água, deseja-se construir uma usina termo-nuclear para geração de energia elétrica. Esta unidade de geração de eletricidade deverá perder $$1000$$ $$MW$$ ($$1$$ $$Mega-Watt$$ = $$1$$ $$MW$$ = $$10^6$$ $$W$$) de energia, necessária para a refrigeração do reator e que não é utilizada na geração de eletricidade. Para trocar calor com o reator pretende-se utilizar a água do lago.
a) Inicialmente determine quanta energia é necessária para elevar a temperatura do lago em $$1$$ $$^{\circ}C$$?
b) Calcule aproximadamente quantos anos são necessários para que a energia desperdiçada pela usina eleve em $$1$$ $$^{\circ}C$$ a temperatura do lago, considerando que não haja nenhum tipo de perda de calor durante todo este período.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Calorimetria[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Deve-se lembrar que o calor utilizado para elevar a temperatura de um corpo é denominado calor sensível e é calculado por:
$$Q=mc \Delta T$$
Onde m é a massa do corpo, c o calor específico e $$\Delta$$T a variação de temperatura, portanto, para a água do rio, precisamos primeiro calcular a massa de água no mesmo, como sabemos sua densidade e seu volume, isso se torna simples:
$$m=d*v$$ -> $$m=1000*4,0*10^{11}$$ $$\rightarrow$$ $$m=4,0*10^{14}$$ $$kg$$
Substituindo na fórmula para o calor sensível:
$$Q=4,0*10^{14}*4190* 1$$ $$\rightarrow$$ $$Q=1,676*10^{18}$$ $$J$$ $$\approx 2*10^{18}$$ $$J$$
b) A definição de potência, nesse caso, será:
$$Pot=Q/ \Delta t$$
Onde $$\Delta$$t é a variação do tempo. Dessa forma:
$$\Delta t=\frac{Q}{Pot}$$
Substituindo os valores:
$$\Delta t=1,676*10^9$$ $$s$$
Convertendo para anos:
$$\Delta t=53,2$$ $$anos$$ $$\approx 5*10$$ $$anos$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$1,676*10^{18}$$ $$J$$ $$\approx 2*10^{18}$$ $$J$$
b) $$53,2$$ $$anos$$ $$\approx$$$$5*10$$ $$anos$$
[/spoiler]
Questão 8:
O componente básico de uma bomba nuclear é o isótopo $$ _{235}$$U de Urânio. A desintegração de uma pequena quantidade deste material produz uma enorme quantidade de energia quando comparamos com fontes usuais como carvão, gás natural e petróleo. O entendimento deste fenômeno só foi possível após Albert Einstein mostrar a relação entre a energia e a massa, através da sua célebre equação:
$$E=mc^2$$
onde E é a energia armazenada numa certa quantidade de massa m e c a velocidade da luz. Quanta energia é gerada pela desintegração de 1 grama de $$ _{235}$$U. Expresse seu valor em J (Joule).
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Energia[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Apesar de envolver um conceito complexo, (a relatividade especial), essa questão torna-se simples quando você vê que a energia liberada será simplesmente a energia da massa de urânio que foi desintegrada, como sabemos que essa massa é de $$10^{-3}$$ $$kg$$, podemos afirmar:
$$E=mc^2$$ $$\rightarrow$$ $$ E=10^{-3}*(3*10^8)^2$$
Portanto:
$$E=9*10^{13}$$ $$J$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$9*10^{13}$$ $$J$$
[/spoiler]
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