Essa desigualdade é bastante interessante pelo modo em que ela consegue ser extremamente simples e útil ao mesmo tempo.
A Desigualdade
Teorema (Desigualdade do Rearranjo): Sejam $$a_1 \le a_2 \le … \le a_n$$ e $$b_1 \le b_2 \le … \le b_n$$ sequências de reais positivos e $$\sigma$$ uma permutação de $$(1,2,…,n)$$. Então
$$a_1 b_1 + a_2 b_2 +…+ a_n b_n \ge a_1 b_{ \sigma (1) } +…+ a_n b_{ \sigma (n) } \ge a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + …+ a_n b_1$$
Prova: Vamos provar a desigualdade do lado esquerdo, sendo a outra completamente análoga.
Primeiro note que como há $$ n! $$ permutações $$\sigma$$ possíveis, há uma que maximiza a expressão $$a_1 b_{ \sigma (1) } +…+ a_n b_{ \sigma (n) }$$. Vamos chamar essa permutação de $$\pi$$. Além disso, dentre todas as permutações possíveis $$\pi$$ que atinjam esse máximo, suponha que $$\pi$$ é a que minimiza a quantidade de inversões.
Se, por ventura, houver um par de inteiros $$i<j$$ com $$\pi (i) > \pi (j)$$ (ou seja, uma inversão), então note que a permutação $$\pi ‘$$ dada por $$\pi$$ com a troca $$\pi (i) \leftrightarrow \pi (j)$$, satisfaz
$$a_i b_{\pi (i)} +a_j b_{\pi (j)} \le a_i b_{\pi ‘ (i)} + a_j b_{\pi ‘ (j)} $$
$$\Leftrightarrow 0 \le (a_j – a_i )(b_{\pi (i)} – b_{\pi (j)} )$$
E essa última desigualdade é verdadeira pelo fato dos dois fatores serem não negativos.
Ou seja, $$\pi ‘$$ também atinge o valor máximo com uma quantidade menor de inversões, o que é uma contradição. Portanto a desigualdade está provada.
Para ver que a outra é análoga, basta considerar o mesmo procedimento trocando maximiza por minimiza.