Física - Semana 129

Escrito por Paulo Henrique

Iniciante

Deslizamento com atrito

Considere um plano inclinado de ângulo $\alpha$ com atrito . Uma partícula pontual é lançada (sobre o plano) com velocidade $v_0$ perpendicular à direção da componente tangencial do peso $P\sin{\alpha}$. O objetivo desse problema é determinar a velocidade terminal da partícula.

Obtendo as equações de movimento

Denote por $\mu$ o coeficiente de atrito cinético entre a partícula e o plano. Para o resto do problema, adote o seguinte par de eixos cartesianos (com origem no ponto de lançamento):

Figura 1: Sistema de eixos cartesianos com origem no ponto de lançamento

Agora, seja $\chi(t)$ o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo $\gamma$.

Figura 2: Diagrama do corpo livre e ângulos importantes. Na figura acima, $N$ denota a força normal exercido pelo plano, que é perpendicular ao plano.

a) Utilizando a figura acima, escreva as equações de movimento da partícula. Mais especificamente, monte as equações das acelerações da partícula nos eixos $\gamma$ e $\theta(t)$, onde $\theta(t)$ é a direção instantânea do vetor velocidade (que varia com o tempo).

Obtendo o coeficiente de atrito cinético

É dado que num instante de tempo $t_0$ a partícula atinge uma velocidade terminal $v_T$, isto é, a partir desse instante a velocidade da partícula permanece constante.

b) Com ajuda do item a, determine $a_{\theta}(t_0)=0$ e $a_{\gamma}(t_0)=0$ em função de $\mu$ e $\chi(t_0)$.

c) Determine $\mu(\alpha)$ e $\chi(t_0)$.

Reescrevendo as equações de movimento

d) Utilizando os resultados do item c, reescreva as equações de movimento do item a. Mostre que $a_{\theta}(t)+a_{\gamma}(t)=0$.

Relação entre as velocidades

Seja $v_{\gamma}$ a velocidade da partícula no eixo $\gamma$. A partir do item d, queremos provar que para todo $t_1$, $t_2>0$, teremos:

$$v(t_1)+v_{\gamma}(t_1)=v(t_2)+v_{\gamma}(t_2)$$

Para isso usaremos o resultado do item d.

e) Após um tempo $\delta{t}$ muito pequeno, teremos:

$v(t+\delta{t})=v(t)+a_{\theta}.\delta{t}$ e $v_{\gamma}(t+\delta{t})=v_{\gamma}(t)+a_{\gamma}.\delta{t}$

Usando o fato que qualquer intervalo finito $\Delta{t}$ pode ser montado a partir de $N$ intervalos $\delta{t}$ tais que $N\delta{t}=\Delta{t}$, mostre o resultado enunciado no começo dessa seção.

f) Obtenha $v_T$.

Intermediário

Uma esfera homogênea é lançada horizontalmente em um plano horizontal com velocidade $v_0$ e velocidade angular $\omega_0=0$. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e o plano é função da distância ao ponto de lançamento $x$:

$$\mu(x)={\mu}_1+{\mu}_2\cos\left(\dfrac{x}{\lambda}\right)$$

Determine a velocidade terminal da esfera.

Avançado

O oscilador linearmente amortecido

O oscilador linearmente amortecido é um modelo mais realista do sistema massa-mola de frequência natural ${\omega}$ onde, ao invés de nenhum amortecimento, há um amortecimento constante. Isto é, a força de amortecimento é a força de atrito usual, dado por ${\mu}_cmg$ quando o oscilador está em movimento e, quando o oscilador está em repouso, atinge o valor máximo de ${\mu}_emg$. Adote ${\mu}_e>{\mu}_c$.

Comumente o problema é visualizado mais facilmente através de um diagrama chamado espaço de fase $p(x)$, que é a representação do momento linear $p$ versus posição ($x$). Aqui, trabalharemos numa solução puramente analítica.

Obtendo a força de atrito

a) Evidentemente, a força de atrito é cinética é dada por ${\mu}_cmg$ para $\dot{x}<0$, $-{\mu}_cmg$ para $\dot{x}>0$. Qual o valor da força de atrito $f$ para $\dot{x}=0$? Expresse sua resposta em função das constantes do problema: ${\omega}_0$, ${\lambda}_c\equiv{\dfrac{{\mu}_cg}{{\omega}^2}}$, ${\lambda}_e\equiv{\dfrac{{\mu}_eg}{{\omega}^2}}$.

A região $-{\lambda}_e\le{x}\le{{\lambda}_e}$ é denominada zona de parada, pois o bloco cessa seu movimento se, em algum instante, tiver $\dot{x}=0$ nessa zona.

Conforme você deve desconfiar, não é trivial obter uma expressão para a força de atrito: dependendo do sinal de $\dot{x}$, seu sentido é alterado. Para contornar essa dificuldade, analisemos o movimento do bloco em etapas onde o sinal da velocidade não muda. Sendo assim, uma etapa $n$ é definida como o movimento entre duas paradas (pontos de retorno). O inicio do movimento corresponde à etapa $n=0$. Claramente, a força de atrito (em função de $n$) depende fortemente das condições iniciais (velocidade inicial $v_0$ e posição inicial $x_0$). Por exemplo, se $v_0>0$ e $x_0>0$, etapas pares tem $f=-{\mu}_cmg$ e impares ${\mu}_cmg$. O caso geral pode ser montado através de duas funções elementares: para $i,j\in{Z}$, $\delta(i,j)=1$ se $i=j$ e $\delta(i,j)=0$, caso contrário. Também definimos a seguinte função: $\Delta(\theta)=\dfrac{\theta}{|\theta|}$, para $\theta\ne{0}$ com $\Delta(0)=0$.

b) Mostre que, se $\dot{x}\ne{0}$, a força de atrito em cada etapa é dado por:

$$f_n=f_0m{\omega}^2{\lambda}_c\cos{n\pi}$$

Onde

$$f_0=\Delta(x_0)\delta(0,v_0)-\Delta(v_0)\left(1-\delta(0,v_0)\right)$$

A equação de movimento em cada etapa

Tendo em mãos $f_n$, podemos obter a equação de movimento para cada etapa. Para isso, denotemos $t_n$ como sendo o instante da e-nésima parada:

$\ddot{x}_n+{\omega}^2x_n=f_n$                  $t_n<t<t_{n+1}$

c) Obtenha a solução geral da equação acima. Ou seja, obtenha $x_n(t)$, que nos dá a posição da partícula em função do tempo para cada etapa. Observe que cada etapa tem sua equação diferencial e, portanto, suas constantes arbitrárias na solução geral. Mostre que ela pode ser escrita da seguinte forma:

$x_n(t)=a_n\cos{{\omega}t}+b_n\sin{{\omega}t}+f_0{\lambda}_c\cos{n\pi}$             $t_n<t<t_{n+1}$

d) Para caracterizarmos o movimento para todo $t$, devemos obter as constantes das soluções $a_n$, $b_n$ e $t_n$. Obtenha uma relação de recursão entre $t_n$ e $t_{n+1}$ e obtenha $t_1$ em função de $a_0$ e $b_0$.

e) Obtenha as constantes de cada etapa em função de $a_0$, $b_0$ e $t_1$.

f) Dadas as condições inicias $x_0$ e $v_0$, obtenha $a_0$ e $b_0$.

Término do movimento

Munidos de $x(t)$ podemos, agora, analisar o término do movimento. Como há um amortecimento, o oscilador não oscila indefinidamente e existe um valor de $n$ correspondente à última etapa do movimento. Denote por $n_0$ o valor do $n$ correspondente a essa etapa.

g) Mostre que $n_0$ pode ser obtido através da equação modular abaixo:

$$|a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}+\left(2n_0-1\right)f_0{\lambda}_c|\le{{\lambda}_e}$$

h) Multiplicando a desigualdade acima por $|\dfrac{f_0}{{\lambda}_c}|=\dfrac{1}{\lambda_c}$. Mostre que, se $\lceil x \rceil$ denota o menor inteiro maior ou igual a $x$, $n_0$ pode ser escrito da seguinte forma:

$$n_0=\lceil \dfrac{{\lambda}_c-\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c} \rceil$$