Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica: movimento com atrito
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Pela segunda lei de Newton:
\[a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}\]
e
\[a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}\]
b)
No instante $$t_0$$, $$a_{gamma}=a_{theta}=0$$. Logo:
\[a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}=0\]
e
\[a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}=0\]
c)
Resolvendo o sistema, chegamos em:
\[\mu=\tan{\alpha}\]
e
\[\cos{\chi_0}=1\]
d)
Com os valores descobertos no item passado, o item a se torna:
\[a{\gamma}=g\sin{\alpha}-\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}g\cos{\alpha}\cos{\chi}\]
e
\[a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}g\cos{\alpha}\]
Dai:
\[a_{\theta}+a_{\gamma}=0\]
e)
Como $$a_{\theta}+a_{\gamma}=0$$, temos:
\[v(t+\delta{t})+v_{\gamma}(t+\delta{t})=v(t)+v_{\gamma}(t)\]
Aplicando a fórmula acima sucessivamente:
\[v(t+\delta{t})+v_{\gamma}(t+\delta{t})=v(t)+v_{\gamma}(t)=v(t+2\delta{t})+v_{\gamma}(t+2\delta{t})=v(t+3\delta{t})+v_{\gamma}(t+3\delta{t})=…=v(t+N\delta{t})+v_{\gamma}(t+N\delta{t})=v(t+\Delta{t})+v_{\gamma}(t+\Delta{t})\]
Escolhendo $$t=t_1$$ e $$\Delta{t}=t_2-t_1$$, chega-se no resultado esperado.
f)
Podemos usar a relação do item passado e aplicá-la entre entre os instantes inicial e final. No lançamento, $$v=v_0$$ e $$v_{\gamma}=0$$, por outro lado, quando a partícula atinge a velocidade terminal: $$v=v_T$$ e $$v_{\gamma}=v_T$$, pois $$\chi_0=0$$. Dai:
\[v_0=2v_T\to{\boxed{v_T=\dfrac{v_0}{2}}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
\[a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}\]
e
\[a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}\]
b)
\[a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}=0\]
e
\[a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}=0\]
c)
\[\mu=\tan{\alpha}\]
e
\[\cos{\chi_0}=1\]
f)
\[v_0=2v_T\to{\boxed{v_T=\dfrac{v_0}{2}}}\]
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Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Conservação de momento angular
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Observe que a forma aparentemente complicada do coeficiente de atrito é irrelevante: ao escolhermos um sistema de eixos na superfície, o torque resultante é nulo, visto que a força de atrito é a força resultante atuando na esfera e esta não gera torque, além disso, essa análise independe do coeficiente de atrito. O momento angular inicial é dado por $$L=mv_0R$$, onde $$m$$ é a massa da esfera e $$R$$ o raio. Quando a esfera não desliza, o momento angular será dado por: $$L=m{\omega}R^2+\dfrac{2}{5}mR^2\omega=\dfrac{7}{5}m{\omega}R^2$$. As duas expressões nos dão a velocidade terminal $$v={\omega}R$$:
\[\dfrac{7}{5}m{\omega}R^2=mv_0R\to{\boxed{v=\dfrac{5}{7}v_0}}\]
Onde foi usado que o momento de inércia de uma esfera homogênea com relação a um eixo passando pelo centro é $$\dfrac{2}{5}mR^2$$.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[\dfrac{7}{5}m{\omega}R^2=mv_0R\to{\boxed{v=\dfrac{5}{7}v_0}}\]
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica com atrito: um método analítico
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
Observe que para $$|F(x)|>{\mu}_emg$$, onde $$F(x)$$ é a força elástica, a força de atrito não consegue equilibrar a força restauradora e o movimento acontece. Caso o contrário acontecer, isto é, $$|F(x)|\le{{\mu}_emg}$$, a força de atrito equilibra a força elástica e o movimento cessa. Portanto, para $$\dot{x}=0$$:
$$f={\mu}_emg$$ Para $$x>\lambda_e$$
$$f=-{\mu}_emg$$ Para $$x<-\lambda_e$$
$$f=m{\omega}^2x$$ Para $$|x|\le{\lambda_e}$$
b)
Um caso será mostrado aqui e os outros, totalmente análogos, não serão resolvidos aqui. Por exemplo, para $$v_0>0$$ e $$x_0<0$$, devemos ter etapas pares com $$f=-{\mu}_cmg$$ e para etapas ímpares $$f={\mu}_cmg$$, o que concorda com a expressão dada no enunciado, pois nesse caso, $$f_0=-1$$ e $$\cos{n\pi}$$ é 1 para etapas pares e -1 para etapas ímpares. Observe que todos os casos em que $$x_0\ne{0}$$ são análogos e só dependem do sinal da velocidade inicial. Analisemos agora o caso em que $$v_0=0$$. Nesse caso, $$f_0=\Delta(x_0)$$. Se $$x_0>0$$ (estando fora da zona de parada), a mola puxa o oscilador para a origem, consequentemente devemos ter $$f>0$$ para etapas pares e $$f<0$$ para etapas ímpares, o que concorda com a expressão do enunciado com $$\Delta(x_0)=1$$, nesse caso.
c)
A solução geral é dada pela solução geral da equação diferencial homogênea ($$f_n=0$$) somada com alguma solução particular. Logo, podemos escrever:
$$x_n(t)=a_n\cos{{\omega}t}+b_n\sin{{\omega}t}+A_n$$
Onde $$A_n$$ é uma solução particular. Claramente, a quantidade $$A_n=f_0{\lambda}_c\cos{n\pi}$$ é solução da equação diferencial. Com isso, chegamos na solução geral dado no enunciado.
d)
Sabemos que para $$n>0$$, as velocidades $$\dot{x}(t_n)=\dot{x}(t_{n+1})=0$$. Evidentemente, podemos usar a expressão para $$x_n$$ para computar essas velocidades: apesar delas serão obtidas por uma equação de movimento válida somente entre os pontos de parada, a continuidade da velocidade e posição nos permitem escrever que: $$\dot{x}(t_n)=v(t_n)$$, onde $$v(t_n)$$ é a velocidade do oscilador em $$t_n$$ e $$\dot{x}(t_n)$$ é a primeira derivada de $$x_n$$ em $$t_n$$. Derivando $$x_n$$ em relação ao tempo e aplicando $$t=t_n$$ e $$t=t_{n+1}$$, ficamos com:
\[\tan{{\omega}t_n}=\tan{{\omega}t_{n+1}}=\dfrac{b_n}{a_n}\]
Como o período da função tangente é $$\pi$$, juntamente com a imposição $$t_{n+1}>t{n}$$, segue que:
\[t_{n+1}=t_n+\dfrac{\pi}{\omega}\]
Por outro lado:
\[t_1=\dfrac{1}{\omega}\arctan{\dfrac{a_0}{b_0}}\]
e)
Podemos resolver facilmente para $$t_n$$ percebendo que a relação de recursão que o define é uma P.A. de razão $$\dfrac{\pi}{\omega}$$. Portanto:
\[t_n=t_1+(n-1)\dfrac{\pi}{\omega}\]
Para descobrirmos as outras constantes, podemos usar a continuidade na posição e velocidade, isto é:
\[x_n(t_n)=x_{n-1}(t_n)\]
e
\[\dot{x_n}(t_n)=\dot{x_{n-1}}(t_n)\]
As operações acima nos dão, após alguma conta:
\[a_n=a_{n-1}+2f_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}\]
e
\[b_n=b_{n-1}+2f_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}\]
Que também é uma P.A. Logo:
\[a_n=a_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}\]
e
\[b_n=b_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}\]
f)
Usemos: $$x_0(0)=x_0$$ e $$\dot{x_0}(0)=v_0$$. Isso gera o seguinte resultado:
\[a_0=x_0-f_0\lambda_c\]
e
\[b_0=\dfrac{v_0}{\omega}\]
g)
A equação requerida é obtida impondo: $$|x_{n_0}(t_{n_0})|\le{\lambda\_e}$$. Utilizando as equações para $$a_n$$, $$b_n$$ e $$t_n$$, chega-se no resultado requerido.
h)
Multiplicando a expressão anterior por $$|\dfrac{f_0}{{\lambda}_c}|=\dfrac{1}{\lambda_c}$$, chegamos em duas desigualdades para $$n_0$$:
\[n_0\ge{\dfrac{{\lambda}_c-\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c}}\]
e
\[n_0\le{\dfrac{{\lambda}_c+\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c}}\]
Dessas duas expressões, apenas a primeira guarda realidade física com o fenômeno estudado. O menor valor que satisfaz a condição de parada é, portanto:
\[n_0=\lceil \dfrac{{\lambda}_c-\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c} \rceil\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$f={\mu}_emg$$ Para $$x>\lambda_e$$
$$f=-{\mu}_emg$$ Para $$x<-\lambda_e$$
$$f=m{\omega}^2x$$ Para $$|x|\le{\lambda_e}$$
d)
\[t_{n+1}=t_n+\dfrac{\pi}{\omega}\]
Por outro lado:
\[t_1=\dfrac{1}{\omega}\arctan{\dfrac{a_0}{b_0}}\]
e)
\[a_n=a_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}\]
e
\[b_n=b_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}\]
f)
\[a_0=x_0-f_0\lambda_c\]
e
\[b_0=\dfrac{v_0}{\omega}\]
[/spoiler]