Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio
“Há muito tempo atrás em uma galáxia muito distante…
É um momento de grande desafio para os estudantes de física. A arma definitiva do Império, a Estrela da Morte, ameaça a própria estrutura do universo. Somente desvendando os segredos da física podemos esperar derrotar essa ameaça maligna.
O Império tem um aliado poderoso, o Lorde das Trevas Epylau, que fará de tudo para esmagar nossos esforços. O caminho à frente será perigoso e os desafios que enfrentaremos testarão nossas habilidades e determinação até o limite.
O destino da galáxia está em jogo, e nossa única esperança está nos bravos rebeldes, Hemétrio e Ito, que arriscam tudo para lutar contra o Império. Infelizmente eles não são muito inteligentes e precisam da ajuda das mentes mais brilhantes da galáxia.
Devemos prosseguir, pois o destino da galáxia está em jogo. Se pudermos resolver todos os problemas, ajudaremos a destruir a Estrela da Morte e trazer liberdade para a galáxia.
Então, vamos usar o poder da física para superar nossos obstáculos e sair vitoriosos. A Força está conosco.”
Iniciante
Touchdown
Em várias cenas de combate, os cavaleiros jedi precisam fugir de projéteis de laser das tropas inimigas. Embora a precisão dos inimigos seja surpreendentemente baixa, em alguns casos, um projétil acaba indo em direção a um jedi e esse precisa “rebater” o tiro com seu sabre de luz. Nesse problema vamos estudar o fenômeno de reflexão de um feixe de luz e um modelo para sua interação com um sabre de luz.
Podemos entender a luz como um grande conjunto de minúsculas partículas sem massa (conhecidas como fótons) que colidem sempre de maneira elástica, ou seja, $$e=1$$. Caso o estudante não conheça, o coeficiente $$e$$ é definido da seguinte maneira:
$$e=\dfrac{|v_{dep}|}{|v_{ant}|}$$
Em que $$v_{dep}$$ é a velocidade de afastamento depois de uma colisão e $$v_{ant}$$ é a velocidade de aproximação antes da colisão. Essa velocidade é medida na direção normal. A velocidade tangencial não muda em colisões sem atrito.
a) Vamos começar trabalhando um caso familiar da mecânica. Considere uma partícula de massa $$m$$ que se move com velocidade $$v$$ iniciamente em direção a um espelho. Sabendo que $$e=1$$, mostre que a velocidade da partícula é conservada e que $$\theta=\theta ‘$$.
b) Ainda no contexto do item anterior, calcule a variação de momento linear (quantidade de movimento) da partícula. A terceira lei de Newton afirma que o momento linear de um sistema fechado é sempre conservado, então de onde veio o momento adicional da partícula?
c) Encontre uma expressão para o momento $$p$$ da partícula em função de sua energia $$E$$ e velocidade $$v$$.
d) Ao invés de uma superfície plana, vamos considerar a colisão de uma pequena partícula de massa $$m$$ com um cilindro de massa $$M$$, que representa o sabre de luz. A partícula incide com velocidade $$v$$ e sai com velocidade $$v’$$. O cilindro recua com velocidade $$u$$.
Utilize a lei de conservação de momento na direção normal (radial) e tangencial para encontrar duas relações entre $$v$$, $$v’$$ e $$u$$. Deixe as respostas em função de $$M$$, $$m$$, $$\theta$$ e $$\theta ‘$$.
e) Assumindo que a colisão seja elástica, encontre o valor do ângulo $$\theta ‘$$ em função das massas e do ângulo $$\theta$$ . No caso de uma partícula de luz, a massa $$m$$ é desprezível, ou seja $$M>>m$$ . Nesse caso mostre que nós voltamos para o caso do primeiro item.
f) Como foi discutido no item b, há uma troca de momento linear entre as partículas incidentes e a superfície em que elas colidem. Embora as partículas que formam a luz tenham massa zero, elas podem transferir momento durante uma colisão.
A energia de um fóton é calculado pela expressão $$E=hf$$, em que $$h$$ é a constante de Planck e $$f$$ é a frequência do fóton. No nosso caso, esse vale cerca de $$E_0=3\cdot 10^{-19}\textrm{J}$$. Essa energia é muito pequena, mas pode se tornar significativa dependendo do número de fótons envolvidos. Considerando que um canhão laser do universo de Star Wars é capaz de emitir até $$2\cdot 10^{28}$$ fótons por disparo, estime o momento transferido para o sabre de luz durante a reflexão de um projétil.
Intermediário
Estrela da Morte
O imperador supremo do lado negro da força, Epylau, decidiu explodir o planeta em que vivia Akira. Para isso, Epylau lançou, a partir de um laser de potência muito alta \(P\), uma enorme quantidade de energia no planeta até que ele se colapsasse. Sabendo que o planeta é formado inteiramente por hidrogênio molecular (massa molar do hidrogênio: \(\mu_H\)) e possui massa \(M\) e temperatura inicial \(T_0\), responda:
a) Calcule a energia térmica média total do planeta \( \langle K \rangle\).
b) Estime o valor da energia média de auto interação gravitacional \(\langle U \rangle\) do planeta.
Cálculos mais avançados indicam que a energia de auto interação gravitacional do planeta é dada por:
\[\langle U \rangle = – \dfrac{3GM^2}{5R}\]
Sabe-se que, na condição de equilíbrio, pelo Teorema do Virial: \(2 \langle K \rangle + \langle U \rangle = 0\) e, assim, o planeta não colapsa. Entretanto, caso \(\langle U \rangle > 2 \langle K \rangle\) o planeta colapsa. Com base nisso:
c) Calcule a temperatura máxima que o planeta pode ter antes de colapsar. Apresente-a da forma:
\[T = AM^{\alpha}\]
e encontre o valor de \(A\) e \(\alpha\).
d) Por fim, calcule o tempo total até o planeta se colapsar totalmente, ie, desde quando o laser começa ser apontado ao planeta até o momento em que seu raio se torna infinitamente pequeno.
Avançado
Viagem Extragaláctica
A nave Millennium Falcon, enquanto fugia dos soldados do Império de Epylau, adentrou uma nuvem de raio \(R\) preenchida uniformemente por poeira de densidade \(\rho\). Sabe-se que as partículas de poeira, durante o percurso da nave, sofrem colisões elásticas e, portanto, não são acretadas. Para essa questão, pode-se aproximar a nave para um disco de espessura \(\epsilon\), raio \(r\) e massa \(M\). Sabendo que a nave está se movendo com velocidades relativísticas, visando fugir o mais rápido possível de seus inimigos, e sua velocidade inicial é \(v_0\), calcule o tempo que ela permanesce na nuvem.
Se necessário, use que:
\[ \int \dfrac{dx}{x^2 \sqrt{1-x^2}} = -\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} \]
\[ \int \dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \rm{arcsinh}(x) \]