Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Mecânica[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
A demonstração que segue é um pouco formal, mas outras soluções menos detalhadas também existem, então não desanime se fez diferente!
Suponha que a partícula chega com velocidade $$v$$ e sai com velocidade $$v’$$. Nosso objetivo é provar a relação $$v=v’$$, em módulo.
Inicialmente, a velocidade da partícula na direção perpendicular ao plano vale:
$$ v_\perp =v\cos{\theta}$$
Depois da colisão, temos:
$$ v’_\perp =v\cos{\theta ‘}$$
Usando a definição do coeficiente $$e$$:
$$ e=1 $$
$$ \dfrac{v\cos{\theta }}{v\cos{\theta}} = 1$$
$$ v\cos{\theta}=v\cos{\theta ‘}$$
$$ \cos{\theta} =\cos{\theta ‘} $$
Logo, provamos a relação $$\theta = \theta ‘$$.
Note que, na direção ao longo do plano, não há nenhuma força, então podemos usar a relação de que as velocidades ao longo do plano devem ser iguais:
$$ v\sin{\theta}=v’ \sin{\theta ‘}$$
Mas, se $$ v\cos{\theta}=v\cos{\theta ‘}$$ e $$ v\sin{\theta}=v’ \sin{\theta ‘}$$, significa que ambas as coordenadas de $$v $$ e $$ v’$$ são iguais, então $$ v=v’ $$.
b)
Quando calculamos a variação do momento linear da partícula (quantidade de movimento), temos a relação abaixo. Tome muito cuidado pois estamos trabalhando com vetores, então é preciso considerar as direções e sentidos nos cálculos.
$$ \Delta p =p-p_0 $$
$$ \Delta p = mv\cos{\theta}- (-mv\cos{\theta)} $$
$$ \Delta p = 2mv\cos{\theta} $$
É claro que esse momento não pode surgir do nada. Esse momento que a partícula ganhou foi obtido a partir da colisão com a parede. Enquanto a bolinha recebeu um impulso de $$2mv\cos{\theta} $$ para cima, a parede recebeu um impuso igual, mas para baixo. Alguns alunos podem acabar esquecendo desse fato pois consideramos que a parede fica parada, mas ela troca momento com a bolinha durante a colisão.
c)
A energia da partícula pode ser calculada com a expressão da energia cinética:
$$ E = \dfrac{1}{2}mv^2 $$
Mas lembre-se que $$p=mv$$, então:
$$ E=\dfrac{1}{2}pv $$
$$ \boxed{p=\dfrac{2E}{v}} $$
d)
Esse é o item mais difícil do problema e é necessário que o leitor tome alguns cuidados. Não é muito prático conservar o momento linear ao longo das direções horizontal e vertical pois a geometria não é favorável. Ao invés disso, vamos conservar o momento linear ao longo da direção radial (perpendicular) e tangencial. Outro detalhe importante é que $$\theta$$ não necessariamente é igual a $$\theta ‘$$ nessa parte do problema.
Vamos começar pela direção radial. A partícula se aproxima com velocidade $$v$$, então o momento ao longo dessa direção é, inicialmente:
$$ p_r=mv\cos{\theta} $$
Depois da colisão, a partícula se move com velocidade $$v’$$ e o sabre de luz (cilindro) recua com velocidade $$u$$. Logo, o momento final é:
$$ p_r = Mu-mv \cos{\theta’} $$
Muito cuidado com os sinais! Leia com atenção para garantir que não trocou nenhum. Igualando os momentos radiais antes e depois, temos:
$$ mv\cos{\theta}= Mu-mv’\cos{\theta ‘}$$
Agora vamos fazer a mesma análise na direção tangencial. Porém, note que não há nenhuma força atuando nessa direção, assim como vimos no item a. Assim, temos inicialmente:
$$ p_t = mv\sin{\theta} $$
Após a colisão:
$$ p_t = mv’\sin{\theta ‘} $$
Logo, temos as relações:
$$\boxed{mv\sin{\theta}=mv’\sin{\theta ‘}}$$
$$ \boxed{mv\cos{\theta}= Mu-mv’\cos{\theta ‘}}$$
e)
Assumindo que a colisão é elástica, temos que $$e=1$$. Portanto, precisamos analisar as velocidades antes e depois da colisão, ao longo da direção radial, que é onde as forças estão atuando.
A velocidade de aproximação é:
$$ v_{r0} =v\cos{\theta}$$
A velocidade de afastamento é:
$$ v_{rf} =u+v’\cos{\theta ‘} $$
Logo:
$$ e=1=\dfrac{u+v’\cos{\theta ‘}}{v\cos{\theta}} $$
$$v\cos{\theta}=u+v’\cos{\theta ‘} $$
Agora, basta resolver as equações. Depois de um pouco de álgebra, obtemos:
$$ \boxed{\tan{\theta ‘}=\left( \dfrac{M+m}{M-m}\right) \tan{\theta}} $$
Quando $$ M>>m $$, podemos usar a aproximação $$ M+m \approx M-m \approx M $$, logo $$\tan{\theta} =\tan{\theta ‘} $$.
f)
Como se trata de um problema de estimativa, o objetivo é apenas encontrar a ordem de grandeza da resposta real (a potência de 10 mais próxima), então vamos considerar uma colisão normal.
Encontramos uma expressão que relaciona energia e momento de uma partícula no item c. Assim, o momento de uma partícula é:
$$ p = \dfrac{2E}{v} $$
$$\Delta p = \dfrac{4E_0}{v} $$
No nosso caso, estamos considerando partículas de luz (fótons), que se movimentam na velocidade da luz $$c=3\cdot 10^8 \, \textrm{m.s}^{-1}$$. Além disso, existem $$N=2\cdot 10^{28}$$ fótons em um disparo, de acordo com o enunciado
$$\Delta p_{tot} = \dfrac{4NE_0}{c} $$
Logo, o impulso fornecido ao sabre de luz vale:
$$ \boxed{i \approx 80 \,\textrm{kg.m.s}^{-1}} $$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
(Demonstração)
b)
O momento veio da parede. Veja a solução para ver a explicação completa.
c)
$$ \boxed{p=\dfrac{2E}{v}} $$
d)
$$\boxed{mv\sin{\theta}=mv’\sin{\theta ‘}}$$
$$ \boxed{mv\cos{\theta}= Mu-mv’\cos{\theta ‘}}$$
e)
$$ \boxed{\tan{\theta ‘}=\tan{\theta}\dfrac{M+m}{M-m}} $$
f)
$$ \boxed{i \approx 80 \, \textrm{kg.m.s}^{-1}} $$
[/spoiler]