Escrito por Apolo Ferreira
Introdução
Sim, a matmática pode te tirar umas risadas, e, se você é um estudante do Ensino Fundamental ou Ensino Médio, que gosta de matemática, de resolver problemas e de desafiar suas próprias folhas lotadas de cálculos pra todos os lados tentando resolver uma questão, este material foi desenvolvido para você.
Sem apenas listar os conteúdos, a ideia aqui é: ajudar você a construir uma forma mais intuitiva de estudar a matemática das olimpíadas, compreendendo como os raciocínios surgem e como problemas podem ser analisados da melhor forma.
Muitos estudantes acreditam que olimpíadas científicas são feitas apenas para “gênios” ou pessoas que nasceram com facilidade extrema em matemática. Entretanto, na prática, os alunos que mais evoluem costumam ser aqueles que aprendem a estudar do jeito que faz sentido e se adapta melhor, além deles desenvolverem curiosidade matemática e construir consistência ao longo do tempo.
“A matemática é um jogo, o resto é só fazer conta.”
– Felipe Guisoli
Quer saber mais sobre essa frase? Clica aqui.
Ao longo deste material, você encontrará:
- Sugestões práticas de estudo;
- Conteúdos fundamentais;
- Recomendações de materiais;
- Estratégias para resolução de problemas;
- Reflexões matemáticas importantes;
- Orientações para evolução gradual em olimpíadas.
Antes de começar
Antes de mergulhar em conteúdos avançados, olimpíadas de matemática exigem base, te digo verdade.
Isso significa que conteúdos simples, como frações, divisibilidade ou equações lineares, precisam estar muito bem compreendidos. Quando essa base não está consolidada, problemas avançados acabam parecendo muito mais difíceis do que realmente são. Por esse motivo, não tenha vergonha de revisar conteúdos básicos. Na verdade, muitos olímpicos fortes passaram bastante tempo fortalecendo exatamente essas lacunas antes de avançarem para assuntos mais sofisticados.
Entender profundamente vale mais do que estudar rapidamente.
Sempre que possível, tente se perguntar coisas como:
- Por que a multiplicação de dois números negativos resulta em um número positivo?
- O que realmente significa uma fração?
- Por que não se pode dividir um número por zero?
- Por que “multiplicar cruzado” funciona?
- Por que um termo muda de sinal ao “passar para o outro lado”?
- O que diferencia testar exemplos de realmente demonstrar algo?
- Por que o Teorema de Pitágoras vale?
Como estudar?
Um dos maiores erros cometidos por iniciantes é acreditar que estudar olimpíadas significa apenas assistir aulas ou consumir teoria. Embora teoria seja importante, a verdadeira evolução acontece resolvendo questões.
Por esse motivo, a resolução de questões deve ser parte central da sua preparação.
Uma boa estratégia de estudo pode seguir a seguinte estrutura:
- Estudar teoria sobre um tópico específico;
- Resolver problemas básicos do conteúdo;
- Analisar os erros;
- Resolver problemas mais difíceis;
- Revisar regularmente conteúdos antigos.
Além disso, tente evitar estudar muitos assuntos ao mesmo tempo. Por exemplo, estudar álgebra e geometria juntos é como tentar aprender a andar de bicicleta enquanto tenta tocar violão! Em geral, dedicar uma ou duas semanas para compreender profundamente um conteúdo costuma gerar mais resultado do que estudar vários tópicos rapidamente sem absorção. Independente da olimpíada, OBMEP, OIMSF, OBM, IMO ou OMU… Estude pelas provas de edições anteriores.
A base matemática
Fundamentos essenciais
Parte da matemática olímpica nasce da observação de padrões. Muitas vezes, um problema fica simples quando certas regularidades são percebidas.
Por esse motivo, os conteúdos abaixo são extremamente importantes:
- Operações básicas;
- Conjuntos e frações;
- Critérios de divisibilidade;
- Números primos;
- Fatoração, MMC e MDC;
- Razão e proporção;
- Equações lineares e não lineares;
- Geometria plana;
- Geometria espacial:
- Interpretação lógica;
- Sequências e padrões.
Durante essa etapa, recomenda-se fortemente a resolução de provas antigas da OBMEP Nível 1, principalmente buscando entender:
- Como os problemas possuem um padrão;
- Quais ideias aparecem com maior frequência;
- Quais padrões de resolução são utilizados.
Comece por aqui!.
Desenvolvimento
Depois da construção da base, os conteúdos começam a exigir mais interpretação e maior conexão entre diferentes áreas da matemática.
Nesta etapa, tópicos como:
- Sistemas de equações;
- Produtos notáveis;
- Geometria analítica;
- Análise combinatória;
- Probabilidade;
- Problemas de lógica.
Aparecem com maior frequência.
Aqui, resolver questões antigas da OBMEP Nível 2 e provas das primeiras fases da OBM pode ajudar bastante no desenvolvimento do raciocínio.
Uma observação rápida: quando falarmos de provas da OBM neste guia, estaremos nos referindo principalmente às provas da 1ª e 2ª fase dos Níveis 1, 2 e 3, que são as mais acessíveis para quem está construindo sua base. As provas da 3ª fase costumam exigir técnicas mais avançadas e um repertório maior de problemas.
Outra dica importante: não subestime as provas antigas. É comum pensar algo como “essa prova é de 2008, então deve estar desatualizada”, mas, isso raramente acontece. Os conteúdos e as ideias centrais mudam muito pouco ao longo do tempo. Na prática, uma boa questão de vinte anos atrás pode ensinar tanto quanto uma questão aplicada este ano. Portanto, não tenha receio de explorar arquivos antigos da OBM e da OBMEP. Eles são uma das melhores fontes de treino disponíveis.
Tente observar:
- Por que determinada estratégia funciona;
- Quais ideias poderiam ser reutilizadas para resolver;
- Quais erros você cometeu, ou deixou passar;
- Quais informações do enunciado eram, ou não, realmente importantes.
No final sua anotação deve parecer algo como: “Nesse problema eu percebi tal padrão, e nisso devo usar tal estratégia.”
Matemática olímpica
Conforme você desenvolve, os problemas deixam de depender só do mecânico e começam a exigir uma certa abstração.
Assuntos como:
- desigualdades;
- polinômios e relações de Viète;
- potência de um ponto;
- princípio da inclusão-exclusão;
- invariantes e monovariantes;
- congruências e aritmética modular.
aparecem com maior frequência em olimpíadas mais difíceis.
Nesta fase, é importante compreender que:
ficar preso em problemas difíceis faz parte do processo.
Muitas vezes, uma única questão pode exigir horas de tentativa, revisão e reflexão.
Isso é normal.
Materiais que recomendo
Para aprofundamento teórico e prática de exercícios, alguns materiais podem ajudar bastante durante a preparação:
- Coleção Fundamentos da Matemática Elementar de Gelson Iezzi;
- O Algebrista de Iezzi e Murakami;
- Banco de Questões da OBMEP;
- Provas anteriores da OBMEP e OBM;
- Portal da Matemática OBMEP;
- Materiais e listas do NOIC.
Entretanto, acumular muitos PDFs e livros não significa evolução. Na maioria dos casos:
resolver problemas de forma consciente vale mais do que consumir dezenas de apostilas superficialmente.
Considerações Finais
O desenvolvimento em olimpíadas de matemática acontece de forma gradual. Não existe progresso instantâneo, e dificuldades fazem parte natural do processo.
Minha avó dizia, “a pressa é inimiga da perfeição”, e hoje isso faz sentido quando penso em estudar matemática. Não existe um atalho aqui, entender de verdade leva tempo, mas é exatamente isso que te concede uma medalha!
Procure compreender as ideias por trás de cada conceito, questionando por que os métodos funcionam e como os diferentes conteúdos se conectam. Na linguagem olímpica, entender costuma ser muito mais valioso do que decorar. Com o tempo e a prática, fórmulas, técnicas e resultados importantes acabam sendo assimilados naturalmente, tornando a resolução de problemas cada vez mais intuitiva.
Aprender matemática olímpica é, aprender novas formas de pensar.
Obs: o material produzido objetiva uma forma geral estudos para iniciantes nas olipíadas de matemática. Não sendo uma lista extensiva, mas sim uma direção ampla de conhecimento. Se o seu interesse é se preparar para a OBMEP, veja esse guia.