Iniciante
Um triângulo acutângulo $$ABC$$ é dado no plano. O círculo de diâmetro $$AB$$ intersecta a altura $$CC’$$ e sua extensão nos pontos $$M$$ e $$N$$, e o círculo de diâmetro $$AC$$ intersecta a altura $$BB’$$ e sua extensão em $$P$$ e $$Q$$. Prove que os pontos $$M$$, $$N$$, $$P$$ e $$Q$$ pertencem a um mesmo círculo.
Intermediário
Sejam $$m, n$$ inteiro positivos com $$m>1$$. Anastásia particiona os inteiros $$1, 2, …, 2m$$ em $$m$$ pares. Boris então escolhe um inteiro de cada par e calcula a soma dos inteiros escolhidos. Prove que Anastásia pode escolher os pares de maneira que Boris não pode fazer com que tal soma seja igual a $$n$$,
Avançado
Considere a sequência {$$a_n$$}$$_{n\geq1}$$ definida como segue:
$$a_1=1$$ , $$a_{2k}=1+a_k$$, $$a_{2k+1}=1/a_{2k}$$
para todo $$k \geq 1$$. Prove que todo número racional positivo aparece na sequência $$a_n$$ exatamente uma vez.