INICIANTE
Assumindo que o planeta irradia como corpo negro:
Calculemos o “raio orbital interno” da zona habitável (373K):
$$r=\sqrt{\frac{L(1-\alpha)}{16{\pi}{\sigma}{T_{max}}^4}}$$
Calculemos o “raio orbital externo” da zona habitável (273K):
$$R=\sqrt{\frac{L(1-\alpha)}{16{\pi}{\sigma}{T_{min}}^4}}$$
Essa área será dada por:
$$A=\pi(R^2-r^2)$$
$$A={\frac{L(1-\alpha)}{16\sigma}}{\frac{T_{max}^4-T_{min}^4}{{T_{max}^4}{T_{min}^4}}}$$
Mas $$L=4{\pi}R^2{\sigma}T^4$$, assim:
$$A={R^2}{T^4}(1-\alpha){\frac{\pi}{4}}{\frac{T_{max}^4-T_{min}^4}{{T_{max}^4}{T_{min}^4}}}$$
INTERMEDIÁRIO
Assumindo que toda a energia térmica do Sol provenha apenas da energia potencial do colapso da nuvem que formou nossa estrela, temos, a partir do teorema do virial:
$$<T> =-\frac{1}{2}<U>$$
$$<T> ={\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}}\frac{GM^2}{R}$$
$$t=\frac{<T>}{L_{Sol}}$$
$$t \approx 10^7 anos$$
AVANÇADO
Calculemos a energia potencial num ponto qualquer interno da esfera:
$$U(r) – U(R)= -\int_R^r F(r) dr$$
Calculemos $$F(r)$$:
$$F(r)=-\frac{GmM(r)}{r^2}$$
Calculemos $$M(r)$$
$$M(r)=r^3{\frac{M}{R^3}}$$
Assim, $$F(r)$$ será:
$$F(r)=-{\frac{GmM}{R^3}}r$$
Integrando
$$U(r) = U(R) – \frac{GMm}{2R} + {\frac{GMm}{2R^3}}r^2$$
$$U(r)={-\frac{3}{2}}\frac{GMm}{R}+{\frac{GMm}{2R^3}}r^2$$
No centro, a energia potencial será:
$$U(0)={-\frac{3}{2}}\frac{GMm}{R}$$
A energia mecânica do sistema será zero, logo:
$$K=-U$$
$$\frac{mv_{esc}^2}{2} = \frac{3}{2}\frac{GMm}{R}$$
A velocidade de escape será:
$$v_{esc}=\sqrt{\frac{3GM}{R}}$$