Escrito por Matheus Felipe R. Borges
Nesta aula vamos definir e estudar o momento angular. Ressalto que, para essa aula, o uso de notação vetorial e noções de cálculo – derivada e integral – será imprescindível. Portanto, recomenda-se que o aluno possua ideias básicas e intuição acerca de derivadas e integrais, além de um bom conhecimento e prática com operações vetoriais (produto escalar, vetorial, bem como regras básicas). Para revisar operações de produtos com vetores, consulte a aula passada 1.10. Com relação ao estudo de cálculo aplicado na Física, recomendamos a Ideia 11 (clique aqui para acessá-la).
Momento angular
Introdução: momento angular de uma partícula pontual
Vamos considerar uma partícula em um ponto $$P$$ com vetor posição $$\vec{r}$$. Se aplicarmos uma força $$\vec{F}$$ na partícula o torque em relação à origem será
$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$$
a segunda lei de Newton nos diz que
$$\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}$$
onde $$\vec{p}$$ é o momento linear da partícula, ou seja,
$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}$$
podemos somar e subtrair o termo $$\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$$
$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}+\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}-\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$$
mas sabemos que $$\dfrac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}=\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}+\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$$, logo
$$\vec{\tau}=\dfrac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}-\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$$
porém, $$\dfrac{d\vec{r}}{dt}$$ é a velocidade da partícula, a velocidade e o momento linear têm a mesma direção e sentido, ou seja
$$\left|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}\right|=\left|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right|\left|\vec{p}\right|\sin{0}=0$$
concluímos que
$$\vec{\tau}=\dfrac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}$$
$$\vec{\tau}=\dfrac{d\vec{L}}{dt}$$
onde definimos
$$\vec{L} \equiv \vec{r}\times\vec{p}$$
como sendo o momento angular da partícula em relação ao ponto $$P$$. O momento angular exerce um papel na dinâmica das rotações como o momento linear exerce na dinâmica, em geral. Note que caso o torque seja nulo o momento angular se conserva.
$$L=rp\sin{\varphi}$$
$$\varphi$$ é o ângulo entre os vetores $$\vec{p}$$ e $$\vec{r}$$. Assim como o torque (visto na aula anterior) podemos reescrever esse resultado de duas formas, que ressaltam aspectos diferentes. Primeiro, decompor $$\vec{p}$$ na direção perpendicular à $$\vec{r}$$
Figura 1: Componente do momento linear.
$$p_{\perp}=p\sin{\varphi}$$
então
$$L=rp_{\perp}$$
Podemos também expressar o momento angular por
$$L=r_{\perp}p=bp$$
onde $$b=r_{\perp}=r\sin{\varphi}$$ é a distância de $$P$$ à direção do momento linear.
Figura 2: Distância à direção do momento linear.
Forças centrais
Forças centrais são forças do tipo
$$\vec{F}=F(r)\hat{r}$$
ou seja, sempre apontam na direção da origem.
Figura 3: Força central.
Então $$\vec{F}$$ e $$\vec{r}$$ possuem a mesma direção, logo
$$|\tau|=|\vec{r}\times\vec{F}|=|\vec{r}||\vec{F}|\sin{0}=0$$
$$\dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}$$
Portanto, o momento angular é constante. Vamos resolver um exemplo de caso com forças centrais:
Exemplo 1: Considere um pequeno disco de massa $$m$$ que desliza sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando em torno do centro $$O$$ da mesa, ao qual está ligado por um fio que passa por um orifício no ponto $$O$$ e é puxado verticalmente para baixo. Considere que inicialmente o disco tem velocidade $$V_0$$ e percorre uma trajetória circular de raio $$R_0$$, se o raio diminuir a metade qual a nova velocidade do disco?
Sabemos que a força de tração do fio sempre passa pelo ponto $$O$$, ou seja, o torque em torno do ponto $$O$$ é nulo, então podemos conservar o momento angular em relação aquele ponto
$$L=R_0(mV_0)=\dfrac{R_0}{2}(mV)$$
portanto,
$$V=2V_0$$
Figura 4: Mesa com um orifício.
Momento angular de um sistema de partículas
Considere um sistema formado por $$n$$ partículas, sendo $$m_i$$, $$\vec{r}_i$$ e $$\vec{V_i}$$ a massa, a posição e a velocidade da partícula $$i$$ em relação a uma origem $$P$$.
Figura 5: Sistema de partículas.
O momento angular total do sistema é
$$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\vec{r}_i\times\vec{p}_i}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_i}$$
podemos escrever a velocidade como
$$\vec{V}_i=\vec{V}_{i/cm}+\vec{V}_{cm}$$
Onde $$\vec{V}_{cm}$$ é a velocidade do centro de massa das partículas e $$\vec{V}_{i/cm}$$ é a velocidade da i-ésima partícula em relação ao centro de massa.
$$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_i}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times(\vec{V}_{i/cm}+\vec{V}_{cm})}$$
$$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{cm}}$$
como a velocidade do centro de massa é sempre a mesma podemos escrever
$$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}+\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i}\right)\times\vec{V}_{cm}$$
Sabemos que $$r_{cm}=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i}}$$ é a posição do centro de massa, considere $$M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i}$$ ($$M$$ é a massa total do sistema).
$$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$$
Esse é um resultado importante, ele nos diz que podemos dividir o momento angular em dois termos. O primeiro termo seria o momento angular spin $$\vec{L}_{spin}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}$$, que pode ser traduzido como o momento angular total no referencial do centro de massa, uma espécie de “momento angular interno” do sistema. O segundo termo seria o momento angular orbital $$\vec{L}_{orbital}=M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$$, que pode ser interpretado como um momento “angular externo” do sistema. Esse é um resultado muito importante principalmente no estudo de corpos rígidos, pois no referencial do centro de massa de um corpo rígido todos os pontos rodam com a mesma velocidade angular, então as equações ficam (podemos tratar um corpo rígido homogêneo como um conjunto de várias pequenas massas infinitesimais $$dm$$, então trocamos a somatória por uma integral).
$$\vec{L}=\displaystyle \int{\left(\vec{r}\times\vec{V}_{P/cm}\right)}dm+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$$
para um corpo rigido que gira com velocidade angular $$\vec{\omega}$$ em torno do centro de massa $$\vec{V}_{P/cm}=\vec{\omega}\times\vec{r}$$, então
$$\vec{L}=\displaystyle \int{\left[\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\right]}dm+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$$
usando a relação $$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$$
$$\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{\omega}(\vec{r}\cdot\vec{r})-\vec{r}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})$$
como $$\vec{\omega}$$ e $$\vec{r}$$ são perpendiculares $$\vec{\omega}\cdot\vec{r}={\omega}r\cos{\frac{\pi}{2}=0}$$
$$\vec{L}=\vec{\omega}\displaystyle \int{r^2}dm+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$$
o termo $$I_{cm}=\displaystyle \int{r^2}dm$$ é o momento de inércia em relação ao centro de massa do sistema (momento de inércia será abordado de forma mais aprofundado na aula 1.12), concluímos que
$$\vec{L}={I_{cm}} \vec{\omega}+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$$
Esse é um resultado muito usado no estudo de corpos rígidos.
Figura 6: Corpo rígido rodando (referencial do centro de massa)
Exemplo 2: Suponha que você lance uma esfera de massa $$m$$ e raio $$R$$ horizontalmente com velocidade $$V_0$$ em um solo horizontal com coeficiente de atrito $$\mu$$. Determine a velocidade final da esfera. (O momento de inércia em relação ao centro de massa da esfera é $$I_{cm}=\dfrac{2}{5}mR^2$$)
Figura 7: Forças na esfera.
Note que enquanto existe força de atrito a esfera vai mudar tanto a velocidade angular tanto a linear. O atrito cessa quando a esfera estiver se movendo em um rolamento puro. Perceba que a esfera está em equilíbrio na vertical, ou seja, o torque do peso e da normal se anulam em relação a um dado ponto $$P$$ no solo e como o atrito sempre aponta na direção desse ponto o torque do atrito é nulo. Portanto, o torque total em relação ao ponto $$P$$ é nulo, logo podemos conservar o momento angular em relação a esse ponto.
Figura 8: velocidades da esfera
sabemos que
$${L}={I_{cm}}{\omega}+mRV$$
então
$${L}=mRV_0={I_{cm}}{\omega}+mRV$$
como no fim a esfera está em um rolamento puro $$V={\omega}{R}$$, concluímos
$$V=\dfrac{5}{7}V_0$$