Aula 1.9 - Estática e Noções de Dinâmica Rotacional Para OBF

Aula de Alex de Sousa

Introdução

Agora iniciaremos o estudo dos corpos em equilíbrio, isto é, os corpos em regime estático, além de também nos mergulhamos superficialmente no campo do movimento de rotação. E você vai ver que esta física é muito comum na sua vida.

Seja porque você já quis equilibrar seus livros e material sem fazer eles caírem:

Ou quis fazer torres de pedras que viu na internet:

Ou talvez você já quis balançar uma barra de levantamento de peso olímpico como um personagem de um mangá, segurou-a pela extremidade, e mal tirou ela do chão:

Como você irá aprender nesta aula, quando temos que considerar a verdadeira extensão dos corpos com o qual estamos trabalhando e não só dizermos que eles são pontos materiais, balanceá-los fica realmente complicado. Mas passo a passo iremos entender o básico sobre estes fenômenos.

Equilíbrio de Pontos Materiais

Primeiro vamos tentar fazer o básico, manter pontos materiais parados. Como só há um lugar onde as forças podem estar agindo, não há rotação e o equilíbrio se dá de maneira dinâmica. Portanto, para um ponto material, podemos dizer que este se encontra em equilíbrio caso a resultante das forças que nele atuam seja nula em relação a um referencial inercial. Assim, para um caso geral:

 

Onde temos:

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \overrightarrow{F_k} = 0$

A diferença principal do equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso é que não precisamos nos importar com a posição das forças. Neste exemplo achar a condição de equilíbrio foi totalmente direto, mas vamos olhar como isso já pode mudar. Por exemplo:

Qual das duas cordas consegue sustentar essa barra melhor? Você deve sentir que a corda verde cederia com muito mais facilidade do que a azul. Mas por quê?

Equilíbrio de Corpos Extensos

Para começarmos essa análise, primeiro precisamos esclarecer um conceito:

Centro de Massa

O centro de massa é definido como o ponto onde, para efeito de cálculos, pode se admitir que está concentrada toda massa do sistema.

Para começarmos a entender isso, vamos começar com um sistema de 5 pontos materiais:

O cálculo da posição do centro de massa de um sistema de vários pontos materiais é simplesmente a média ponderada das posições de cada massa, ou seja:

$\overrightarrow{r_{CM}} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k = 1}^{5} m_k \cdot \overrightarrow{r_k}}{\displaystyle \sum_{k = 1}^{5} m_k}$

Se generalizarmos isto para $n$ corpos, temos que a fórmula geral para cálculo do centro de massa de pontos materiais é:

$\boxed{\overrightarrow{r_{CM}} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} m_k \cdot \overrightarrow{r_k}}{\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} m_k}}$

Mas e para corpos extensos? Nós fazemos quase a mesma coisa, mas dividimos ele em infinitas partes infinitesimais:

Onde o $\overrightarrow{r}$ é o vetor da origem a cada parte infinitesimal, portanto o centro de massa vale:

$\overrightarrow{r_{CM}} = \dfrac{\displaystyle \sum \overrightarrow{r} dm}{m}$

Formalmente, então temos:

$\boxed{\overrightarrow{r_{CM}} = \dfrac{\displaystyle \int_V \overrightarrow{r} dm}{m}}$

Justamente por envolver cálculo diferencial e integral, o cálculo do centro de massa de corpos contínuos é algo que geralmente não aparecerá na OBF (há casos onde esta matemática não é necessária), e por isso não aprofundaremos além do conceito neste assunto.

Contudo é importante ter em mente o centro de massa de corpos de densidade uniforme de formas geométricas conhecidas, que é igual ao seus centros geométricos! Aqui alguns deles:

Observações:

• (c) e (h) são iguais, ou seja o centro de massa é igual para um círculo, esfera oca ou esfera cheia.
• (e) refere-se ao encontro das medianas de um triângulo, ou seu baricentro. Ou seja, para um triângulo isósceles, isto fica no meio da base e a 1/3 da altura de distância dela.
• (i) se refere a um cone ou pirâmide cheios.
• (j) se refere a um cone ou pirâmide ocos e sem base.

Com isto esclarecido, vamos prosseguir para a análise.

Para um corpo extenso o equilíbrio de forças não é mais suficiente, pois o movimento de translação não é o único que este pode realizar, ele também pode realizar o movimento de rotação.

Em outras palavras, o equilíbrio de translação que é definido como:

“Estado onde o centro de massa de um corpo mantém uma velocidade constante (lembremos que apenas o módulo da velocidade é constante num MCU) em relação a um referencial inercial.”

Não é mais suficiente, e agora também temos que ter o equilíbrio de rotação:

“Estado onde as partículas em volta dos eixos ortogonais do centro de massa de um corpo mantém uma velocidade angular constante em relação a um referencial inercial ou referencial girante de velocidade angular constante”

Para visualizarmos melhor as condições para este equilíbrio:

x, y e z são os eixos ortogonais do seu centro de massa, e $\omega_x$, $\omega_y$ e $\omega_z$ as componentes da velocidade angular de rotação do corpo. Em outras palavras, é o estado onde o corpo rígido (um corpo cujas partículas não mudam de distância entre umas as outras) não sofre aceleração angular em relação a ele mesmo.

A diferença entre estes equilíbrios deve ficar certa para que faça total sentido. Então vou ilustrar algumas situações para que entendam totalmente:

 

 

 

 

 

Mas agora, para acharmos as situações de equilíbrio de rotação precisamos de um análogo a força, isto é, como achamos a força resultante zero para dizer que a sua aceleração linear é nula, algo que acharíamos sua resultante zero para dizer que a aceleração angular do corpo em torno dele mesmo é nula. Felizmente esta quantidade existe e é chamada torque.

Torque

Torque é definido como a quantidade vetorial que mede a eficiência de uma força em produzir uma rotação em um corpo. Ou seja quando tentamos fazer qualquer coisa girar, estamos exercendo torque, ainda que o objetivo final não seja esse, por exemplo:

O objetivo de usar uma alavanca não é fazer ela girar, mas sim o meio pelo qual levantamos algo muito pesado para levantarmos diretamente. Mas porque isso funciona? Porque o torque que geramos na alavanca nos permite exercer tanta força? Vamos olhar para um tipo diferente de ''alavanca'':

Uma gangorra é muito parecida, você tem um fim que é levantado, um que é abaixado e um ponto de apoio, mas se lembrarmos das nossas infâncias, sabemos que a criança mais leve sempre tinha menos controle sobre a gangorra do que a mais pesada, e se tivessem o mesmo peso a situação era equilibrada. O que está acontecendo aqui? O que tem de diferente nessas duas situações?

A distância de onde cada força é exercida ao ponto de apoio é diferente em cada situação. Na alavanca, o ponto de apoio é deixado super próximo ao que vai ser levantado, e muito distante de quem exerce a força, enquanto que na gangorra, o ponto de apoio está a uma distância igual de cada pessoa e por isso o equilíbrio por forças iguais. O que aprendemos com isto, é que o torque exercido por uma força é proporcional não somente à intensidade desta, mas também a distância de onde ela é exercida até o ponto de apoio, ou o comprimento do braço.

Bom já quase temos uma fórmula, só que mais uma coisa deve ser esclarecida, qual a direção dessa força que realmente importa? Por exemplo, se ao usar a alavanca você empurrasse ao longo dela ao invés de perpendicular a ela, o que aconteceria? Ela simplesmente seria empurrada, concorda? Se você exercer uma força na direção do braço não vai haver como surgir rotação em torno desse ponto. Portanto nos leva a uma outra conclusão, que para o torque nós devemos considerar somente as forças perpendiculares aos braços.

Para entendermos totalmente e dominarmos o torque, vamos fazer um exemplo:

Imaginemos a situação daquela alavanca e que a sua espessura é muito menor que o seu comprimento, e vamos desenhar os ângulos, distâncias e forças, e para efeitos de simplificação, chamamos de $F_1$ a força exercida pelo homem, e $F_2$ a força exercida pela caixa sendo levantada. Primeira observação que devemos fazer é sobre as forças, todas elas estão em direções não perpendiculares aos braços. Portanto vamos introduzir aqui as 2 opções para consertarmos isso:

Decompondo as Forças

Agora que dividimos as forças em paralelas e perpendiculares aos braços, temos tudo para prosseguir, mas antes vamos mostrar a segunda opção:

Obtendo os Braços Perpendiculares

Se as forças e os braços não forem de imediato perpendiculares, podemos só obter braços que sejam perpendiculares.

Agora que temos de fato braços perpendiculares, pode-se observar que nada na situação mudou, apenas alteramos os braços considerados.

Bom falamos sobre o torque mas ainda não o formulamos não é? Bom, sabendo que o módulo do torque é proporcional a força perpendicular e ao braço, podemos dizer que:

$\tau = r \cdot F_{\perp}$

Onde $\tau$ é o módulo do torque, $r$ o comprimento do braço e $F_{\perp}$ a componente perpendicular ao braço de uma força. Ou também:

$\tau = r_{\perp} \cdot F$

Onde $r_{\perp}$ seria a componente perpendicular do braço. Essa é uma formulação prática pras questões, mas ela não conta a história toda, não nos diz porque matematicamente tem que ser perpendiculares e nem nos diz o sentido do torque ou do movimento. Mas há uma mais geral, que pode nos contar tudo isso.

Fórmula Geral

O torque gerado por uma força $\overrightarrow{F}$ na ponta de um vetor distância $\overrightarrow{r}$, com origem no ponto O, em torno deste mesmo ponto, vale:

$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$

Lê-se que: $\overrightarrow{\tau}$ é o produto vetorial de $\overrightarrow{r}$ com $\overrightarrow{F}$. Mas o que é um produto vetorial? Não vamos muito a fundo pois não é o foco desta aula, mas podemos entender como se quiséssemos achar a área entre 2 vetores:

 

Quando queremos achar a área entre 2 vetores, primeiro eles precisam ser duplicados e ser dispostos de maneira a formar um paralelogramo como na figura. A área deste paralelogramo está destacada em verde, e o verdadeiro resultado tem sua direção representada pelo ponto preto , que representa o sentido de saída da página.

Calculando o módulo do torque sabemos então que:

$\boxed{\tau = r \cdot F \sin \theta}$

Bom mas devemos nos perguntar, porque neste exemplo o torque ficou no sentido de saída da página? O que isto significa?

Regra da Mão Direita

Para acharmos o sentido da força provinda de um produto vetorial devemos usar a Regra da Mão Direita. Há 2 maneiras comuns de usar esta regra, a primeira é esta:

Você aponta o seu dedo indicador no sentido da primeira força, o do meio no sentido da segunda, e o sentido da força resultante do produto vetorial será o mesmo do seu polegar.

A segunda maneira de usar esta regra é essa:

Você aponta a sua mão no sentido da primeira força, e gira ela com sua palma no sentido da segunda, e assim novamente, seu polegar aponta no sentido da terceira. Gosto mais desse quando falamos de torque, pois como há uma rotação envolvida, já conseguimos de cara dizer pelo movimento da mão que sentido de rotação, horário ou anti-horário, o nosso torque causa, e com isso podemos determinar numa equação o sinal do torque.

Cuidados: 

• O nome regra da mão direita é este por um motivo, caso faça isso com a mão esquerda, o sentido estará invertido, então é importante lembrar de usar a mão direita.
• Sempre lembrar que há uma ordem a ser seguida, a primeira força corresponde a algo na mão e a segunda força a outro, caso sejam trocados, novamente, o sentido estará invertido. Isso é verdade pois: $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = - \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$

Unidade do Torque

Como na fórmula do torque temos uma força se multiplicando por uma distância podemos concluir que a unidade do torque no SI é $N \cdot m$, que é a mesma do joule, mas não escrevemos $J$ para não confundir torque com energia.

Voltando ao exemplo da alavanca, se adotarmos o sentido horário como positivo (vetorialmente o sentido de um torque que entra na página), podemos calcular cada torque como:

$\tau_1 = - F_1 \cdot x \sin \theta$, $\tau_P = - F_P \cdot a \sin \theta$ e $\tau_2 = F_2 \cdot b \sin \theta$, onde $x = 2a + b$.

Analogamente a força resultante, também podemos definir o torque resultante e este é:

$\boxed{\overrightarrow{\tau_{res}} = \displaystyle \sum_i \overrightarrow{\tau_i}}$

Portanto devemos entender que matematicamente a condição para o equilíbrio de translação é:

$\boxed{\overrightarrow{F_{res}} = 0}$

E a condição para o equilíbrio de rotação é:

$\boxed{\overrightarrow{\tau_{res}} = 0}$

Mas antes de prosseguirmos devemos nos atentar a um último detalhe, o polo de rotação. Este é o ponto que serve como a origem do braço, e que no exemplo da alavanca chamamos de O. Para calcular o torque você deve escolher um polo e calcular o torque resultante para aquele ponto, e para a maioria dos equilíbrios de rotação, este vetor será zero em torno de todos os polos (falaremos sobre o caso onde isso não se aplica). A verdade é que numa alavanca nos convenientemente colocamos o polo no ponto de apoio onde ela toca o chão e nem escrevemos a força que o chão exerce sobre a alavanca, mas por quê?

Como o polo podia ser livremente escolhido, era melhor que colocássemos no ponto de apoio, pois as forças em pontos de apoio tendem a geralmente ser desinteressantes e complicadas de calcular. Pensemos numa situação real daquela alavanca: Você poderia usar uma balança para o peso da alavanca e dinamômetros para a força que você exerce e a força no outro fim da alavanca, mas e a força de atrito e a normal exercida na alavanca? Não só seria complicado de medir tais forças, como elas não nos servem de nenhum interesse prático. Portanto uma boa dica é sempre que o equilíbrio for total, isto é, de translação e de rotação, devemos colocar o polo de rotação em um ponto de apoio, como um ligamento ou fixação.

Equilíbrio de rotação, mas não de translação

Neste caso, o polo de rotação deve ser sempre colocado no centro de massa do sistema sendo analisado. Não podemos dar muitos detalhes pois isto está fora do nosso escopo, mas entendam que analogamente ao momento linear, existe uma quantidade vetorial chamada de momento angular. E assim como $F \Delta t = \Delta p$ é verdade na dinâmica, $\tau \Delta t = \Delta L$ é verdade na dinâmica rotacional, onde o nosso momento angular serve como uma quantidade de movimento rotacional. Mas o problema é que esta última equação só é verdade se o sistema não estiver sofrendo aceleração linear (equilíbrio de translação), ou se o torque for calculado em relação ao centro de massa, se uma ou ambas destas condições forem cumpridas, o torque assume seu significado físico de ser uma quantidade vetorial que causa rotação.

Analisando as situações de Equilíbrio

Antes de começarmos gostaria de falar sobre o que é o centro de gravidade.

“Centro de Gravidade pode ser definido como um determinado ponto onde podemos considerar que está aplicado o peso total do corpo.”

Em outras palavras, é o ponto onde se pegássemos toda a massa de um corpo e colocássemos lá, a força gravitacional seria a mesma. Para corpos extremamente grandes, ou em planetas muito pequenos haveria uma distinção, mas na grande maioria das situações que você vai estudar, pode ser assumido que o centro de gravidade e o centro de massa são iguais.

Equilíbrio de corpos apoiados

Vamos investigar situações comuns onde temos diferentes corpos em diferentes superfícies. Por exemplo, se tivermos uma barra na beira de uma mesa, o que acontece?

Exemplo 1

Intuitivamente conseguimos enxergar isso, mas por quê? Tudo está relacionado com as posições do centro de gravidade e a normal. Contanto que tenha lugar para a normal ficar a direita ou na mesma vertical do centro de gravidade este corpo nunca vai tombar, pois se olharmos para o torque em torno do centro de massa, a normal causa uma rotação no sentido anti-horário, que simplesmente não seria possível pois o corpo não teria como espontaneamente girar neste sentido e implicaria que ela na verdade não causa torque nenhum, e é localizada na vertical do centro de massa.

Agora para outro caso:

Também conseguimos ver isso intuitivamente, e a razão é similar. Neste caso, a normal não tem como ficar em cima do centro de massa, e portanto ela definitivamente causará uma rotação no sentido anti-horário, simbolizando que a nossa barra não estará em equilíbrio e portanto, tombará.

Exemplo 2

Assim como antes, sabemos disso pois a normal aqui fica na vertical do centro da gravidade, assim prevenindo qualquer torque.

Aqui a vertical do centro de gravidade se encontra fora da área de contato, e por conta disso não há como evitar o torque e esta caixa com certeza tombará.

O que concluímos aqui é que para ocorrer equilíbrio de corpos apoiados, é necessário que a vertical do centro de gravidade deles esteja na região de contato do apoio.

Diferentes tipos de Equilíbrio

Com certeza você já se deparou com diferentes tipos de equilíbrio na sua vida, por exemplo o equilíbrio estável:

Você provavelmente já usou um desses para acertar os coleguinhas mais de uma vez, ou pelo menos só para brincar, e deve lembrar que quanto mais você esticava ele mais ele tentava contrair. Aqui nós vemos a característica padrão de equilíbrio estável, que é que quando o sistema é retirado desse estado ele tenta voltar ao mesmo ponto de equilíbrio.

Talvez você já tenha visto mas geralmente representamos um equilíbrio estável da seguinte forma: (Curiosamente quando analisamos a energia potencial de uma partícula em equilíbrio estável, ela também se parece com isto!)

Pensamos aqui em uma bolinha presa em uma depressão, e quando ela tenta subir ela perde energia cinética e acaba sendo puxada pela gravidade para baixo novamente. Falando em rotação então poderíamos ver a seguinte forma de equilíbrio estável:

                                                                                     

Onde esta placa retangular, após ser rotacionado no sentido anti-horário, faz com que surja um torque no sentido horário, espontaneamente tentando voltar a sua posição de equilíbrio original.

Agora vamos olhar para o equilíbrio instável:

Tadinho! Mas se ele mover somente um pouco a sua cabeça ele arrisca fazer com que a garrafa se incline ou desça um pouco e daí ela cairá direto ao chão. Aqui vemos a característica marcante de um equilíbrio instável, que é que quando o sistema é retirado desse estado ele se afasta do mesmo ponto de equilíbrio.

Novamente, a representação comum é: (Este padrão também se repetirá para a energia potencial!)

Pensamos aqui em uma bolinha no topo de um morro, e quando ela desce um pouquinho, ela começa a descer mais e mais, sem voltar a sua situação anterior, ela talvez ache um novo equilíbrio, mas não voltará espontaneamente a este. Podemos então ver a seguinte forma de equilíbrio instável:

                                                                                 

Aqui esta outra placa, após ser rotacionado no sentido anti-horário, faz surgir um torque nesse mesmo sentido, assim, se afastando da sua posição de equilíbrio original.

Por último, e honestamente, menos importante, o equilíbrio indiferente:

O homem da foto deitado no chão, pode rolar para os lados bastante, e no momento que ele parar, ele estará em equilíbrio. Por isso este equilíbrio é chamado de indiferente, a posição não influencia no estado de equilíbrio.

Novamente, a representação comum é: (Não preciso dizer.)

Pensamos aqui em uma bolinha num plano, e quando ela vai pro lado um pouquinho, nada muda, aonde ela for é uma posição de equilíbrio diferente, então ela nem se afasta nem se aproxima da posição inicial. Podemos então ver a seguinte forma de equilíbrio indiferente:

Alavancas

Falamos muito do exemplo de uma alavanca para explicar o torque, e agora que já temos um bom entendimento do que ele é, vamos olhar mais a fundo pras alavancas. Para o estudo das alavancas as 3 coisas mais importantes são:

• Fulcro: Ponto de apoio da alavanca
• Força Potente: Força exercida na alavanca por quem a usa.
• Força Resistente: Força que se quer vencer pelo uso da alavanca.

Sabendo disso, vamos falar então dos tipos de alavanca:

Alavanca Interfixa

É o tipo de alavanca onde o fulcro se encontra entre as forças. Por isso o exemplo dos alicates, perceba que entre as pontas (ponto de aplicação das forças resistentes) dos alicates e os cabos (ponto de aplicação das forças potentes) há uma junta circular (fulcro), assim caracterizando-os como alavancas interfixas. Outros exemplos são o do pé de cabra e da tesoura. (Olhe-os e observe o porquê disso!) Um esquema geral para esse tipo de alavanca é este:

Alavanca Inter-resistente

É o tipo de alavanca onde a força resistente se encontra entre a força resistente e o fulcro. Por isso o exemplo do quebra-nozes, perceba que entre a ponta (fulcro) dos alicates e os cabos (ponto de aplicação das forças potentes) há uma câmara quase circular, de dois lados que agem como dentes (ponto de aplicação das forças resistentes) assim caracterizando-o como alavanca inter-resistente (o nome é praticamente auto-explicativo).

Alavanca Interpotente

É o tipo de alavanca onde a força potente se encontra entre a força resistente e o fulcro. Por isso o exemplo da pinça, perceba que entre a ponta (fulcro) dos alicates e os dentes (ponto de aplicação das forças resistentes) há dois lados que servem de apoio (ponto de aplicação das forças potentes) assim caracterizando-a como alavanca interpotente (novamente, auto-explicativo). Tem uma leve peculiaridade neste caso, porque geralmente quando pensamos em alavancas, pensamos em instrumentos e ferramentas que nos auxiliam a exercer mais força do que conseguimos, mas no caso das alavancas interpotentes, perceba que a força potente é na verdade maior que a resistente, pois o braço da força potente é menor.

Apêndice

O básico está acabado, e agora só temos que cobrir mais algumas coisas que podem cair na OBF, para sair sabendo que não seremos pegos de surpresa.

Teorema das 3 forças

Este teorema é enunciado da seguinte forma:

“Se um corpo estiver em equilíbrio sob ação exclusiva de três forças, estas deverão ser coplanares e suas linhas de ação serão, necessariamente, concorrentes num único ponto ou paralelas.”

Podemos ver facilmente porque todas tem que ser coplanares: Se por exemplo tivermos só 2 delas coplanares, significa que a força não coplanar tem uma componente em um plano que as outras não tem, e portanto esta componente não poderia ser zerada, o que contraria a situação de equilíbrio.

A outra parte é bem difícil de mostrar mas convido que chequem a Ideia 07, caso queiram uma prova. Mas só lembrem que se há 3 forças em um corpo qualquer e ele está em equilíbrio, você tem que ter 1 de duas situações:

 

Esse teorema não é muito interessante para forças paralelas, mas nos diz bastante sobre as não paralelas, e por isso sugiro novamente checar a Ideia 07, para ver mais exemplos usando este teorema.

Momento Angular

Momento angular é análogo ao momento linear, só que o angular é relacionado a rotação, ou seja, assim como o momento linear pode ser definido como a quantidade de movimento linear de um corpo, o momento angular é definido como a quantidade de movimento angular deste corpo.  A formulação dele é muito parecida com a do torque, como veremos a seguir:

Para uma situação como a de cima podemos formular o momento angular como:

$\boxed{\overrightarrow{L} = m \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v} \text{, ou } \overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}}$

Onde $\overrightarrow{p}$ é o momento linear.

Novamente encontramos o produto vetorial, o que nos diz que este momento angular deve ter algumas propriedades semelhantes ao torque. Assim como o torque nós temos que vetores paralelos causam produto vetorial nulo. Portanto, caso a velocidade seja puramente radial e não tenha velocidade angular, o momento angular é zero, e mais importante, o cálculo do módulo do momento angular é feito da mesma forma que é feito o cálculo do torque, mas ao invés de força, usamos momento linear. Assim:

$\boxed{L = r \cdot p \sin \theta}$

E tudo o que falamos sobre o sentido do torque, também se aplicará ao momento angular.

Unidade do Momento Angular

No SI o momento angular tem unidade $kg \cdot m^2 / s$.

Momento de Inércia

Todos sabemos como a física define massa, é a capacidade de resistência de um corpo a aceleração linear. Mas não faria sentido se houvesse uma quantidade para medir a capacidade de resistência a aceleração angular? Bom, existe e o nome dessa quantidade é momento de inércia. Ele é definido da seguinte forma:

“O momento de inércia é a capacidade de um corpo de resistir a um torque externo.”

Para vermos como ele é formulado matematicamente, vamos imaginar várias massas girando em torno de um mesmo eixo, com massas e distâncias ao eixo variando.

Tendo isto, o momento de inércia vale:

$\boxed{I = \displaystyle \sum_i m_i \, r^2_i}$

Algo importante de se notar é que antes de fazer este cálculo, eu especifiquei um eixo. Isto também é feito no cálculo do torque, mas geralmente como vemos a rotação ocorrer no plano do papel, o eixo quase sempre está na direção ortogonal ao papel, sendo assim visto como um ponto. Mas entenda que o momento de inércia é calculado para um eixo em uma certa localização. Se por exemplo, movêssemos o eixo acima para os lados, ele ia mudar com a contribuição de cada massa sendo diferente, e caso rotacionássemos o eixo para a horizontal a distância de cada massa ao eixo ficaria na vertical.

Para calcular o momento de inércia de corpos contínuos é necessário o uso de cálculo diferencial e integral, e portanto está fora do escopo desta aula. Somente mostraremos a fórmula e o valor para formas geométricas mais comuns em tornos de eixos comuns.

Fórmula Geral

$\boxed{I = \displaystyle \int r^2 dm}$

E o valor de formas comuns é:

Unidade do Momento de Inércia

No SI o momento de inércia tem unidade $kg \cdot m^2$.

Juntando tudo

Ok, falamos sobre o momento angular e o momento de inércia, mas o que isso tem a ver com o torque? Vamos começar olhando o momento angular, a fórmula dele é esta:

$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$

E a do torque é esta:

$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$

Talvez não esteja claro ainda a relação, então vamos refrescar a memória com o teorema do impulso, que é formulado como:

$\overrightarrow{F} \Delta t = \Delta \overrightarrow{p} \therefore \overrightarrow{F} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{p}}{\Delta t}$

Desse jeito é fácil ver que:

$\boxed{\overrightarrow{\tau} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{L}}{\Delta t}}$

É ótimo vermos que há um análogo a fórmula que conhecemos da Dinâmica Linear, só devo relembrar que tomem o seguinte cuidado: Esta fórmula só é válida caso o eixo esteja no centro de massa do sistema e/ou o corpo esteja em equilíbrio de translação. Como havia dito antes, caso nenhuma dessas condições seja cumprida, esta fórmula não será válida, e portanto o torque perderá o seu significado físico. Isto acontece porque assim como a força tem seu significado na variação de quantidade de movimento ou momento linear, o torque tem o seu na variação de quantidade de movimento ou momento angular.

E o momento de inércia? Bom o momento de inércia é o que precisamos usar para achar o momento angular e o torque de corpos extensos, principalmente. Como eu havia falado antes, o momento de inércia funciona como a “massa”, só que para a Dinâmica Rotacional, e como vemos, o torque é a “força” neste caso. Portanto:

$\boxed{\overrightarrow{\tau} = I \overrightarrow{\alpha}}$

Onde $\alpha$ é a aceleração angular. Segue então que:

$\boxed{\overrightarrow{L} = I \overrightarrow{\omega}}$

Assim encerramos todas as relações e o que era necessário saber para se sair bem em estática e dinâmica rotacional na OBF. Desejo bons estudos a todos, e lembrem de praticar com os problemas desta aula.

Para você que é de seletiva, e quer se aprofundar mais, pode checar as aulas a seguir:

• Aula 1.9 - Torque
• Aula 1.10 - Momento Angular
• Aula 1.11 - Momento de Inércia