Escrito por Matheus Felipe R. Borges
Nesta aula vamos estudar a rotação e o equilíbrio de corpos extensos: para isso, será necessário definir uma grandeza chamada torque, que será de essencial importância. É recomendado que o aluno possua uma noção breve acerca de derivadas, haja vista que serão usadas em algumas passagens da aula – no entanto isso não é, de forma alguma, necessário para o entendimento geral da aula.
Operações com vetores
Antes de tudo, precisamos saber de algumas operações com vetores que não foram apresentadas na aula 1.0:
Produto escalar
O produto escalar de dois vetores $$\vec{a}$$ e $$\vec{b}$$ nos dá uma grandeza escalar e é definido por
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$$
onde $$\theta$$ é o menor ângulo entre os vetores, podemos também escrever o produto escalar em termos das componentes $$\vec{a}=a_x\hat{x}+a_y\hat{y}+a_z\hat{z}$$ $$\vec{b}=b_x\hat{x}+b_y\hat{y}+b_z\hat{z}$$
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_x\hat{x}+a_y\hat{y}+a_z\hat{z})\cdot(b_x\hat{x}+b_y\hat{y}+b_z\hat{z})$$
pela definição
$$\hat{x}\cdot\hat{x}=1$$ $$\hat{y}\cdot\hat{y}=1$$ $$\hat{z}\cdot\hat{z}=1$$
$$\hat{x}\cdot\hat{y}=0$$ $$\hat{y}\cdot\hat{x}=0$$ $$\hat{z}\cdot\hat{x}=0$$
$$\hat{x}\cdot\hat{z}=0$$ $$\hat{y}\cdot\hat{z}=0$$ $$\hat{z}\cdot\hat{y}=0$$
portanto
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$
Figura 1: Dois vetores.
Produto vetorial
O produto vetoral de dois vetores $$\vec{a}$$ e $$\vec{b}$$ nos dá um vetor e é definido por
$$\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\theta}$$ $$\hat{n}$$
onde $$\theta$$ é o menor ângulo entre os vetores e $$\hat{n}$$ é um vetor unitário cuja direção é definida pela regra de Fleming ou regra da mão direita: com sua mão direita aponte seus dedos na direção do primeiro vetor (no caso o vetor $$\vec{a}$$) e gire-os(fechando a mão) pelo menor ângulo na direção do segundo vetor (o vetor $$\vec{b}$$) assim seu polegar indicará a direção de $$\hat{n}$$.
Figura 2: Produto vetorial.
Podemos escrever o produto vetorial em função das componentes $$\vec{a}=a_x\hat{x}+a_y\hat{y}+a_z\hat{z}$$ $$\vec{b}=b_x\hat{x}+b_y\hat{y}+b_z\hat{z}$$
$$\vec{a}\times\vec{b}=(a_x\hat{x}+a_y\hat{y}+a_z\hat{z})\times(b_x\hat{x}+b_y\hat{y}+b_z\hat{z})$$
pela definição
$$\hat{x}\times\hat{x}=0$$ $$\hat{y}\times\hat{y}=0$$ $$\hat{z}\times\hat{z}=0$$
$$\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}$$ $$\hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}$$ $$\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$$
$$\hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}$$ $$\hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}$$ $$\hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}$$
então
$$\vec{a}\times\vec{b}=(a_yb_z-a_zb_y)\hat{x}+(a_zb_x-a_xb_z)\hat{y}+(a_xb_y-a_yb_x)\hat{z}$$
esse resultado também pode ser sintetizado como o determinante de uma matriz (esse fato não será particularmente útil para os fins do nosso curso):
$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$
Torque
Ideias gerais
Imagine que você tem uma barra presa em um ponto $$P$$ e aplique uma força $$\vec{F}$$ na barra, como mostrado na figura 3, qual será a aceleração angular dessa barra? A primeira vista você pode pensar em usar a segunda lei de Newton diretamente, porém o que prende a barra ao ponto $$P$$ realiza uma força desconhecida, então temos que fazer outra análise.
Figura 3: Barra com extremidade fixa.
Devemos achar uma analogia entre as equações angulares e lineares
$$x$$ (deslocamento linear) $$\longrightarrow$$ $$\theta$$ (deslocamento angular)
$$V$$ (velocidade linear) $$\longrightarrow$$ $$\omega$$ (velocidade angular)
$$a$$ (aceleração linear) $$\longrightarrow$$ $$\alpha$$ (aceleração angular)
para passarmos à dinâmica das rotações devemos achar uma grandeza análoga à força. Uma forma de definir força seria por meio do trabalho
$$\Delta{w}=F\Delta{x}$$
o análogo de $$F$$ para rotação seria uma grandeza $$\tau$$ (chamada torque, a palavra vem do latem “torquere”, que significa “torcer”.) tal que
$$\Delta{w}=\tau\Delta{\theta}$$
Figura 4: Barra com extremidade fixa rodando.
Vamos analisar um pequeno deslocamento angular $$\Delta{\theta}$$ da barra mencionada anteriormente, como o deslocamento é pequeno $$\Delta{\vec{r}}$$ é praticamente tangente a barra. O trabalho realizado por $$\vec{F}$$ é
$$\Delta{w}=\vec{F}\cdot{\Delta{\vec{r}}}=F\sin{\varphi}\Delta{r}$$
a magnitude do deslocamento é $$\Delta{r}=r\Delta{\theta}$$
$$\Delta{w}=Fr\sin{\varphi}\Delta{\theta}$$
concluímos que
$$\tau=Fr\sin{\theta}$$
Esse resultado pode ser reescrito de duas formas, que destacam aspectos diferentes. Primeiro, podemos decompor $$\vec{F}$$ na direção tangente a barra $$\vec{F}_{\perp}$$
$$F_{\perp}=F\sin{\varphi}$$
então
$$\tau=F_{\perp}r$$
mostrando que só a componente perpendicular importa na rotação, é o que esperávamos.
Figura 5: Componente da força.
Podemos também expressar o torque por
$$\tau=Fr_{\perp}$$
onde
$$r_{\perp}=b=r\sin{\varphi}$$
$$r_{\perp}$$ é a menor distância do ponto $$P$$ à linha de ação da força. Essa distância é chamada de “braço de alavanca” da força.
Figura 6: Braço de alavanca.
Vamos agora dar um caráter vetorial para o torque, note que $$\tau=Fr\sin{\varphi}$$ tem o mesmo formato de um produto vetorial
$$\tau=|\vec{r}\times\vec{F}|$$
ou seja, podemos expressar o torque vetorialmente por
$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$$
É importante ressaltar que calculamos o torque em relação a um dado ponto fixo $$P$$ ($$\vec{r}$$ é o vetor que liga o ponto $$P$$ ao ponto de aplicação da força), se trocarmos o ponto $$P$$, o torque, em geral, muda.
Relação do torque com a aceleração angular
Agora vamos finalmente relacionar o torque com a aceleração angular. Imagine um conjunto de $$n$$ partículas rodando em torno de um eixo com velocidade angular $$\omega$$, sendo $$m_i$$ e $$\vec{r}_i$$ a massa e a posição da partícula $$i$$, então a energia do sistema será
$$W=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{m_i{r_i}^2\omega^2}{2}}$$
Chamamos o termo $$I=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i{r_i}^2}$$ de momento de inércia do sistema (abordado de forma mais aprofundada na aula 1.11)
$$W=\dfrac{I{\omega}^2}{2}$$
Sabemos que
$$\tau=\dfrac{\Delta{W}}{\Delta{\theta}}$$
Para pequenas variações usamos a forma diferencial
$$\tau=\dfrac{dW}{d\theta}$$
$$\tau=\dfrac{I}{2}\dfrac{d({\omega}^2)}{d\theta}$$
$$\tau=I\omega\dfrac{d\omega}{d\theta}=I\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d\omega}{d\theta}$$
Observando que $$d\omega/dt=\alpha$$ (sendo $$\alpha$$ a aceleração angular), concluímos que
$$\tau=I\alpha$$
Podemos escrever na forma vetorial*
$$\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$$
Finalmente encontramos uma relação entre o torque e a aceleração angular, note que ela é bem análoga à segunda lei de newton $$\vec{F}=m\vec{a}$$ onde
$$F$$ (força)$$\longrightarrow$$$$\tau$$ (torque)
$$a$$ (aceleração linear)$$\longrightarrow$$$$\alpha$$ (aceleração angular)
$$m$$ (massa)$$\longrightarrow$$$$I$$ (momento de inércia)
*OBS: Geralmente não se faz necessário utilizar a forma vetorial quando escrevemos o torque desta forma.
Exemplo 1: Um cilindro homogêneo de raio $$R$$ é rotacionado em torno do seu eixo com velocidade angular $$\omega_0$$ e então é colocado na quina de uma parede (Figura 7). O coeficiente de atrito em todas as superfícies é $$\mu$$. Quanto tempo leva para o cilindro parar? (O momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa é $$I_{cm}=\dfrac{mR^2}{2}$$)
Figura 7: Cilindro rodando na parede.
Podemos notar que o centro de massa do cilindro sempre está parado, ou seja, a força resultante no cilindro é nula, porém existe uma aceleração angular. Pelo torque e equilíbrio das forças podemos escrever
$$mg=N_1+Fat_2$$
$$N_2=Fat_1$$
$$-R(Fat_1+Fat_2)=I_{cm}\alpha$$
Figura 8: Diagrama de forças.
como há movimento relativo entre as superfícies os atritos são cinéticos $$Fat_1=N_1\mu$$ $$Fat_2=N_2\mu$$, então
$$Fat_1=\dfrac{mg\mu}{1+\mu^2}$$
$$Fat_1=\dfrac{mg\mu^2}{1+\mu^2}$$
portanto
$$-\dfrac{mgR\mu(1+\mu)}{1+\mu^2}=I_{cm}\alpha$$
$$-\dfrac{g\mu(1+\mu)}{1+\mu^2}=\dfrac{R\alpha}{2}$$
$$\alpha=-\dfrac{2g\mu(1+\mu)}{R(1+\mu^2)}$$
$$t=\dfrac{(0-\omega_0)}{\alpha}$$
$$t=\dfrac{\omega_0R(1+\mu^2)}{2g\mu(1+\mu)}$$
Estática de corpos rígidos
Agora vamos estudar – através de alguns exemplos – o equilíbrio de corpos rígidos. Para um corpo estar em equilíbrio, ele não pode ter aceleração angular nem linear, ou seja, tanto o torque quanto a força resultante devem ser nulos:
$$\vec{F}_{res}=\vec{0}$$
$$\vec{\tau}=\vec{0}$$
Você pode se perguntar: em relação a qual ponto o torque deve ser nulo? A resposta é que o torque é nulo em relação a todos os pontos do espaço: inclusive pontos que estejam fora da extensão do corpo. Pode-se provar que, se a força resultante em um sistema é nula, isso implica que o torque é o mesmo em relação a qualquer ponto; esse fato é provado na ideia 07 (clique aqui para acessá-la). Vejamos alguns exemplos envolvendo estáticas de corpos extensos:
Exemplo 2: Considere uma barra de comprimento $$L$$ e massa $$m$$ presa em sua extremidade por um pivô. Qual deve ser a força aplicada na outra extremidade para manter a barra em equilíbrio?
Figura 9: Barra em equilíbrio.
Vamos aplicar o torque em relação ao pivô, como a barra está em equilíbrio o torque é nulo
$$mg\dfrac{L}{2}-FL=0$$
então
$$\dfrac{mg}{2}$$
pelo equilíbrio das forças podemos achar a normal no pivô
$$N+F=mg$$
$$N=\dfrac{mg}{2}$$
Exemplo 3: Um ioiô de massa $$M$$, raio interno $$r$$ e raio externo $$R$$ é puxado por uma força $$F$$ que faz um ângulo $$\varphi$$ com a horizontal. Qual deve ser o ângulo $$\varphi$$ para o ioiô se manter em equilíbrio? Para qual lado o ioiô roda se o ângulo diminuir? E se aumentar? Considere que o atrito é grande o suficiente para o ioiô não deslizar.
Figura 10: Ioiô.
Note que em relação ao ponto de contato com o solo o peso, a normal e o atrito não realizam torque, então a única forma do ioiô estar em equilíbrio é se a força $$F$$ apontar para o ponto de contato, caso contrário existiria torque resultante.
Figura 11: Equilíbrio do ioiô.
portanto, no equilíbrio
$$\cos{\varphi}=\dfrac{r}{R}$$
Se o $$\varphi$$ mudar a linha de ação da força $$F$$ não passa mais pelo ponto de contato com o solo então o ioiô não vai ficar em equilíbrio. Caso o angulo $$\varphi$$ diminua a linha de ação da força será
Figura 11: Linha de ação da força. (ângulo diminuindo)
Nesse caso o torque faz o ioiô rodar e ir para a direita. Se o ângulo $$\varphi$$ aumentar a linha de ação da força será
Figura 12: Linha de ação da força. (ângulo aumentando)
Nesse caso o torque faz o ioiô rodar e ir para a esquerda.
Exemplo 4: Considere um cubo de aresta $$a$$ em um plano inclinado com atrito. Determine qual o ângulo máximo do plano para o cubo permanecer em equilíbrio. Admita que o atrito é muito grande e o cubo não desliza.
Figura 13: Possíveis posições do bloco.
Perceba que enquanto a linha de ação do peso não passa pelo ponto $$P$$ (primeira e segunda imagem) é possível balancear o torque do peso com a força de contato. Porém, quando a linha passa do ponto $$P$$, isto torna-se impossível e então o cubo roda. O caso limite é justamente quando o peso passa exatamente pelo ponto $$P$$, analisando geometricamente chegamos em
$$\alpha_{max}=45^{\circ}$$
Figura 14: Caso limite.
- Uma das ideias mais úteis para resolver problemas de estática é o teorema das três forças, que relaciona as linhas de ação das três forças que atuam em um certo sistema em equilíbrio. O estudo da ideia 07 (clique aqui para acessá-la) é fortemente recomendado (em especial, para alunos que estão se preparando para a OBF ou vestibulares militares como ITA/IME).