Escrito por Akira Ito
Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Problema 01 *
Provavelmente todos os leitores do NOIC já tiveram dificuldade ao tentar abrir um pote de vidro com uma tampa metálica (azeitonas, palmito, etc). Alguns recorrem à força bruta, mas outros utilizam uma técnica mais elegante: aquecer a tampa (com um secador de cabelo, chama, etc). Após esse aquecimento, é possível abrir o pote com facilidade. Explique o fenômeno.
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Quando a tampa é aquecida, ela dilata levemente e diminui o atrito com a boca do pote. Dessa forma, a força necessária para retirar a tampa diminui.
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Problema 02 *
(OBF) O coeficiente de dilatação térmico do titânio é de $$0,90\cdot 10^{-5}\,\textrm{K}^{-1}$$. Qual é, aproximadamente, a variação no comprimento de $$1\,\textrm{m}$$ de titânio quando a temperatura variar de $$-140^\circ\textrm{C}$$ a $$20^\circ\textrm{C}$$?
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Utilizando a expressão para dilatação linear de um corpo, temos:
$$ \Delta l = l_0 \alpha \Delta T $$
Aplicando os valores, $$\Delta T=(20)-(-140)=160^\circ C$$, $$\alpha=0,90\cdot 10^{-5}\,\textrm{K}^{-1}$$ e $$l=1\,\textrm{m}$$, obtemos:
$$ \Delta l =1,44\cdot 10^{-3}\,\textrm{m} $$
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$$ \Delta l =1,44\cdot 10^{-3}\,\textrm{m} $$
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Problema 03 ***
Uma lâmina bimetálica é constituída por uma junção de duas lâminas retilíneas que têm o mesmo comprimento quando estão à temperatura $$ T$$. Ao aumentar sua temperatura para $$T+\Delta T$$ a lâmina se curva, formando um arco de circunferência de espessura total $$d$$. Supondo que os coeficientes de dilatação linear das lâminas sejam iguais a $$\alpha_2$$ e $$\alpha_1$$ em que $$\alpha_2>\alpha_1$$, deduza o raio de curvatura $$R$$ da junção entre as lâminas. Encontre também o ângulo do arco formado. Desconsidere a dilatação da espessura da lâmina.
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Vamos dizer que a distância do ponto até o “centro” das duas placas vale “R”, que é o valor do raio de curvatura, pela figura temos que o valor do arco gerado pela curvatura das placas é:
$$L_{1}=L_{o}(1+\alpha_{1}\Delta T)=(R-d)\theta$$
$$L_{2}=L_{o}(1+\alpha_{2}\Delta T)=R \theta$$
Em que o novo comprimento da placa é dado pela expressão $$L=L_{o}(1+\alpha\Delta T)$$, para a parte mais “abaixo”, pois ela é a que menos sofre do efeito de interação com a outra placa, que vai mudar a deformação original. Dividindo as duas equações temos:
$$\dfrac{R-d}{R}=\dfrac{(1+\alpha_{1} \Delta T)}{1+\alpha_{2} \Delta T}$$
$$R=d\dfrac{(1+\alpha_{2}\Delta T)}{(\alpha_{2} -\alpha_{1})\Delta T} \approx \dfrac{d}{(\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}$$
E substituindo nosso valor de $$R$$ na expressão original, temos que:
$$\theta=\dfrac{l_{o}(1+\alpha_{2} \Delta T)}{R} \approx \dfrac{l_{o} (\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}{d}$$
Se o valor de $$\Delta T$$ se inverter, aparecerá um valor de $$\theta$$ negativo, o que significa que a placa vai se encurvar, contudo para o outro lado.
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$$R=d\dfrac{(1+\alpha_{2}\Delta T)}{(\alpha_{2} -\alpha_{1})\Delta T} \approx \dfrac{d}{(\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}$$
$$\theta=\dfrac{l_{o}(1+\alpha_{2} \Delta T)}{R} \approx \dfrac{l_{o} (\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}{d}$$
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Problema 04 **
O pêndulo de um relógio é feito de cobre e possui período $$\tau$$ no inverno. No verão, a temperatura média do relógio aumenta em $$\Delta T$$ e, por conta disso, o período do relógio sofre uma leve alteração (e portanto sua medida de tempo também sofre um desvio). Calcule o novo período do pêndulo sabendo que o coeficiente de dilatação linear do cobre vale $$\alpha$$. Diga também se o relógio atrasa ou adianta sua marcação.
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O período de oscilação de um pêndulo vale:
$$ \tau=\sqrt{\dfrac{l}{g}} $$
Em que $$l$$ é comprimento do fio e $$g$$ é a aceleração da gravidade. Assim, no inverno temos que:
$$ \tau=\sqrt{\dfrac{l_0}{g}} $$
No verão, a temperatura média do pêndulo aumenta em $$\Delta T$$, de forma que o fio metálico dilata e o período de oscilação aumenta. Utilizando a expressão do novo comprimento do fio $$l=l_0(1+\alpha \Delta T)$$, temos:
$$ \tau’ = \sqrt{\dfrac{l_0(1+\alpha \Delta T)}{g}} $$
Note que podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
$$ \tau’ = \tau \sqrt{(1+\alpha \Delta T)} $$
Como o novo período do pêndulo é maior, ao longo de um dia, ele oscilará menos vezes que o esperado, de forma que ele marcará um valor de tempo menor que o correto. Dessa forma, o relógio atrasa.
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$$ \tau’ = \tau \sqrt{(1+\alpha \Delta T)} $$
O relógio atrasa.
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Problema 05 *
Entre duas paredes rígidas são colocadas duas barras metálicas diferentes. Elas possuem comprimentos $$l_1$$ e $$l_2$$ à temperatura ambiente e coeficientes de dilatação linear $$\alpha_1$$ e $$\alpha_2$$, respectivamente. Calcule a variação de temperatura necessária para que as barras se encostem. A distância entre as paredes vale $$L>l_1+l_2$$.
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Para que as barras se encostem, elas devem preencher o espaço entre as paredes, ou seja:
$$ \bar{l}_1+\bar{l}_2=L $$
Em que $$\bar{l}_1$$ e $$\bar{l}_2$$ são os comprimentos das barras após o aquecimento. Podemos utilizar a expressão da dilatação linear das barras:
$$\bar{l}_1= l_1(1+\alpha_1 \Delta T)$$
$$\bar{l}_2= l_2(1+\alpha_2 \Delta T)$$
Assim, temos:
$$ \Delta T = \dfrac{L-(l_1+l_2)}{(l_1\alpha_1+l_2\alpha_2)} $$
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$$ \Delta T = \dfrac{L-(l_1+l_2)}{(l_1\alpha_1+l_2\alpha_2)} $$
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Problema 06 *
Tsuchie possui um triângulo isósceles que é constituído de dois tipos diferentes de arames metálicos. Os lados de comprimento $$l_0$$ possuem coeficiente de dilatação linear $$\alpha_0$$ enquanto o lado de comprimento $$l_1$$ possui um coeficiente $$\alpha_1$$. Calcule qual deve ser a variação de temperatura $$\Delta T$$ que Tsuchie deve fornecer ao sistema para que o triângulo se torne equilátero.
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Após a dilatação, os lados devem possui comprimentos iguais. Ou seja:
$$ l=l_0(1+\alpha_0\Delta T) $$
$$ l=l_1(1+\alpha_1\Delta T) $$
Igualando as expressões, temos:
$$ l_0(1+\alpha_0\Delta T) = l_1(1+\alpha_1\Delta T)$$
$$ \Delta T = \dfrac{l_0-l_1}{\alpha_1 l_1-\alpha_0 l_0} $$
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$$ \Delta T = \dfrac{l_0-l_1}{\alpha_1 l_1-\alpha_0 l_0} $$
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Problema 07 **
Mostre que a relação comentada na aula teórica é verdadeira para um paralelepípedo (caixa) feito de material isotrópico:
$$\gamma=3\alpha$$
Em que $$\gamma$$ é o coeficiente de dilatação volumétrica e $$\alpha$$ é o coeficiente de dilatação linear do mesmo material.
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Suponha que a caixa possui dimensões $$a_0$$, $$b_0$$ e $$c_0$$ inicialmente. Seu volume é, portanto:
$$ V_0= a_0 b_0 c_0$$
Após o aquecimento do sistema, o volume passará a ser:
$$ V=V_0(1+\gamma \Delta T) $$
Mas também suas dimensões serão alteradas da seguinte forma:
$$ a=a_0(1+\alpha \Delta T) $$
$$ b=b_0(1+\alpha \Delta T) $$
$$ c=c_0(1+\alpha \Delta T) $$
Ou seja, temos que:
$$ V=abc=V_0(1+\gamma \Delta T) $$
$$ a_0b_0c_0 (1+\alpha \Delta T)^3=V_0 (1+\gamma \Delta T)$$
Como $$\alpha << 1$$ e, em geral, as variações de temperatura $$\Delta T$$ não são tão grandes, podemos fazer a seguinte aproximação:
$$ (1+\alpha \Delta T)^3\approx 1+3\alpha \Delta T $$
Logo, fazendo algumas simplificações, provamos que:
$$\gamma=3\alpha$$
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Problema 08 *
Considere uma esfera de massa $$m_0$$ e coeficiente de dilatação linear $$\alpha$$. Seu raio vale $$R$$ quando a temperatura é $$T$$. Calcule a densidade dessa esfera em função de uma variação de temperatura $$\Delta T$$.
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Uma consequência interessante do fenômeno da dilatação dos materiais é a alteração de densidade. Pela conservação de massa, um sistema isolado não pode ter sua massa alterada, então, se o seu volume aumenta por meio de um aumento de temperatura, sua densidade será alterada.
Temos a seguinte relação:
$$ m=\rho V = \,\textrm{cte} $$
Comparando os estados final com inicial, temos:
$$ m_0 = \rho V $$
O volume vale inicialmente $$V_0=\dfrac{4}{3}\pi R^3$$, e, após o aquecimento, ele passa a ser $$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)$$. Logo:
$$ m_0 = \rho\dfrac{4}{3}\pi R^3(1+3\alpha \Delta T) $$
$$ \rho = \dfrac{3m_0}{4\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)} $$
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$$ \rho = \dfrac{3m_0}{4\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)} $$
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Problema 09 **
Laerte realizou o seguinte experimento em laboratório. Ele decide encher uma panela cilíndrica de altura $$H$$ com um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica $$\gamma_l$$. Após aquecer o sistema em $$\Delta T$$ graus centígrados, ele esperava que parte do líquido fosse derramar da panela, ele esperava que parte do líquido fosse transbordar da panela pois seu volume aumentaria devido à dilatação volumétrica do fluído. No entanto, ele constatou que, na realidade, a altura do líquido desceu $$h$$ em relação à borda do recipiente.
Explique o fenômeno e calcule o coeficiente de dilatação volumétrico da panela utilizada por Laerte. Considere que não há perda de massa de água por evaporação.
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Quando o sistema é aquecido, pode parecer que o líquido deveria transbordar a primeira vista. No entanto, tanto o líquido quanto a panela esquentam, de forma que ambos dilatam. Nesse sistema, é possível perceber que a panela possui um maior $$\gamma$$ que o líquido, por isso há uma “sobra” de volume.
A diferença entre o volume final da panela com o volume final do líquido é o espaço vazio da panela, ou seja:
$$ \Delta V = V_{panela}-V_{liquido} $$
O volume final da panela vale $$V_{panela}=\pi R^2 H (1+\gamma_p)$$, em que $$\gamma_p$$ é o coeficiente de dilatação volumétrica da panela. O volume final do líquido vale $$V_{liquido}=\pi R^2 H (1+\gamma_l)$$. Assim, temos:
$$ \pi R^2 h = \pi R^2 H (1+\gamma_p) + \pi R^2 H (1+\gamma_l) $$
Resolvendo e simplificando a equação acima, temos:
$$ \gamma_p = \gamma_l + \dfrac{h}{H\Delta T} $$
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$$ \gamma_p = \gamma_l + \dfrac{h}{H\Delta T} $$
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Problema 10 *
(OBF) Uma placa de metal retangular de espessura constante possui uma abertura quadrada em seu centro. A figura abaixo mostra a placa na temperatura ambiente.
Quando a placa é aquecida homogeneamente, a figura que melhor a representa dilatata é:
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Existem duas coisas principais que devemos perceber para marcar o item correto. Primeiramente, devemos notar que o tamanho do buraco aumentará, e isso vale para qualquer formato. Um jeito simples de ver isso é imaginar que o buraco fosse preenchido (ou que fizemos um corte na placa e não retiramos o pedaço interior à ele). A figura abaixo ilustra a situação para um buraco circular. À esquerda, temos a placa sem o furo, apenas com a região circular demarcada em destaque. As linhas vermelhas tracejadas indicam as fronteiras das superfícies após o aumento de temperatura. À direita, temos a mesma situação, mas a região circular não é mais preenchida, deixando um buraco na placa. Perceba que o fato da região não estar preenchida não altera o fato de que suas fronteiras irão expandir da mesma forma que o fariam caso não houvesse o buraco, como mostra a imagem à esquerda. Desse modo, concluímos que o tamanho do buraco deve aumentar.
Em segundo, quando a placa é aquecida de forma homogênea, a dilatação na grande maioria dos materiais ocorre de forma isotrópica; isto é, o coeficiente de dilatação linear é o mesmo em todas as direções. Isso significa que todos os lados do quadrado (de mesmo comprimento) aumentam igualmente de tamanho, e portanto seu formato final ainda deve ser o de um quadrado. Por fim, vemos então que o único item a obedecer tais condições é o Item (d), no qual o buraco mantém seu formato inicial e aumenta em tamanho.
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Item (d)
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Problema 11 *
Um arame é encurvado em forma de um aro circular de raio $$R$$, tendo, porém, um uma forlga $$d$$ entre suas extremidades, conforme indica a figura abaixo.
Ao aquecer esse arame, é correto afirmar que a medida de $$R$$ e $$d$$, respectivamente:
a) aumentará – não se alterará
b) aumentará – aumentará
c) aumentará – diminuirá
d) não se alterará – aumentará
e) não se alterará – diminuirá
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Conforme foi demonstrado no problema anterior, tanto o “buraco” quanto o objeto dilatam quando há um aumento na temperatura, dessa forma, $$R$$ e $$d$$ aumentam na mesma proporção. Portanto item b).
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Item b)
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Problema 12 ***
O Calor nos Aproxima ou nos Afasta?
(Problemas da Semana 167) Daniel é um ávido leitor que adora ler livros de romance. Em muitos desses livros ele vê o calor entre 2 pessoas como sendo algo importante na história que altera as relações dos protagonistas. Ele quer investigar isso na física e para esse fim ele decide adquirir 2 esferas de aço de raio $$R$$ e decide fazer um experimento com elas: ele deixa uma suspensa e outra no chão, conforme a figura, e fornece a mesma quantidade de calor $$Q$$ para as 2.
Sabendo que o coeficiente de dilatação térmico linear do aço vale $$\gamma$$ e o calor específico vale $$c$$, diga se após o aquecimento as bolas se afastam ou se aproximam, e o quanto se afastam ou aproximam. Você pode desconsiderar os efeitos da gravidade, mas vale a pena pensar como a gravidade influenciaria nesse experimento!
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Veja a solução da Semana 167.
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Veja a solução da Semana 167.
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Problema 13 *
A gasolina é vendida por litro, mas em sua utilização como combustível, a massa é o que importa. Um aumento da temperatura do ambiente leva a um aumento no volume da gasolina. Para diminuir os efeitos práticos dessa variação, os tanques dos postos de gasolina são subterrâneos. Se os tanques não fossem subterrâneos:
I. Você levaria vantagem ao abastecer o carro na hora mais quente do dia pois estaria comprando mais massa por litro de combustível.
II. Abastecendo com a temperatura mais baixa, você estaria comprando mais massa de combustível para cada litro.
III. Se a gasolina fosse vendida por kg em vez de por litro, o problema comercial decorrente da dilatação da gasolina estaria resolvido.
Identifique as proposições corretas.
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Vamos analisar cada uma das proposições individualmente:
I. Falsa. Conforme foi visto anteriormente nessa lista de exercícios, um aumento na temperatura de um corpo implica uma diminuição na sua densidade (isto é, o objeto se torna “mais leve”). Em um dia quente, a gasolina ficaria menos densa e, portanto, o consumidor pagaria mais do que deveria.
II. Verdadeira. A razão é a mesma da proposição anterior: em um dia frio, a gasolina aumentaria de densidade e o consumidor pagaria menos do que deveria.
III. Verdadeira. A massa de um objeto não varia com a temperatura.
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As proposições II e III são corretas.
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Problema 14 ***
Até agora assumimos que o coeficiente de dilatação dos materiais é constante, independente da temperatura. No entanto, na vida real, o valor de $$\alpha$$ pode variar. Suponha que o coeficiente de dilatação linear de um deterinado material varia conforma a seguinte expressão:
$$ \alpha(T) = \alpha_0 + \eta T $$
Calcule a variação de comprimento de uma barra que foi aquecida da temperatura $$T_0$$ até uma temperatura $$T$$. O comprimento da barra vale $$l_0$$ inicialmente.
Dica: uma pequena variação de comprimento da barra pode ser calculada com a expressão $$\Delta l = l_0 \alpha(T) \Delta T$$.
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Uma pequena variação no comprimento da barra pode ser calculada como:
$$ dl=l_0 \alpha(T) dT$$
$$ dl=l_0 (\alpha_0+\eta T) dT $$
Podemos integrar dos dois lados para obter a expressão:
$$ {\Delta l = l_0 \left[ \alpha_0(T-T_0) + \dfrac{\eta}{2}(T^2-T_0^2) \right] }$$
OBS: A solução apresentada utiliza cálculo, mas é possível resolver esse problema com a fórmula da área de um trapézio (assim como a demonstração a expressão horária da posição do MRUV $$S=S_0+v_0 t +\dfrac{1}{2}at^2$$).
Note que, para valores pequenos de $$\eta$$, a expressão acima se aproxima da fórmula clássica $$\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$$.
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$$ {\Delta l = l_0 \left[ \alpha_0(T-T_0) + \dfrac{\eta}{2}(T^2-T_0^2) \right] }$$
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Problema 15 ***
Um termômetro de mercúrio é composto por um bulbo, onde grande parte do mercúrio fica guardado, e de um tubo capilar de paredes de vidro pela qual o mercúrio passa quando dilata. Considere que o volume do mercúrio no seu interior vale $$V_0$$ quando a temperatura ambiente é $$T_0$$. Nessa temperatura, a secção transversal de área do tubo vale $$S_0$$.
Seja $$\gamma$$ o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e $$\alpha$$ o coeficiente de dilatação linear do vidro do qual as paredes do termômetro são feitas. Calcule a altura da coluna de mercúrio $$h$$ para uma variação de temperatura $$\Delta T > 0$$.
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Após o aquecimento, o volume de mercúrio vale:
$$ V= V_0(1+\gamma \Delta T) $$
Após o aquecimento, a variação do volume de mercúrio vale:
$$ \Delta V=V_0 \gamma \Delta T $$
Se o vidro não dilatasse, a altura da coluna de mercúrio seria simplesmente a altura de um prisma de base $$S_0$$ e volume $$\Delta V$$. A expressão incorreta então seria:
$$ h’ = \dfrac{\Delta V}{S_0}$$ (Errado)
Aplicando os valores $$\gamma=1,8\cdot 10^{-4}$$, $$\alpha=8,5\cdot 10^{-6}$$, $$S_0=5\cdot 10^{-9}$$, $$V_0=0,17\cdot 10^{-6}$$, $$\Delta T = 5$$ (todos os valores estão em SI) para obter uma estimativa numérica, encontramos:
$$h’\approx 3,1\,\textrm{cm}$$
No entanto, o vidro também dilata e precisamos levar isso em consideração para obter um termômetro preciso. Assim, o volume do bulbo vale:
$$ V_b=V_0(1+3\alpha \Delta T) $$
Logo, um volume de mercúrio $$\Delta V’ = V-V_b=V_0(\gamma -3\alpha)\Delta T$$ será expelido para fora do bulbo e formará a coluna do termômetro. Deve-se lembrar também que o diâmetro do tubo dilata, de forma que sua área passa a ser:
$$ S=S_0(1+2\alpha \Delta T) $$
Logo, a coluna de mercúrio real vale:
$$ {h=\dfrac{V_0(\gamma -3\alpha)\Delta T}{S_0(1+2\alpha \Delta T)}} $$
Utilizando os mesmos valores de antes, encontramos:
$$ h\approx 2,6\,\textrm{cm} $$
Note como há um desvio de meio centímetro em relação à situação simplificada!
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$ {h=\dfrac{V_0(\gamma -3\alpha)\Delta T}{S_0(1+2\alpha \Delta T)}} $$
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