Problemas Aula 2.1- Dilatação

Escrito por Akira Ito

Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.

Problema 01 *

Provavelmente todos os leitores do NOIC já tiveram dificuldade ao tentar abrir um pote de vidro com uma tampa metálica (azeitonas, palmito, etc). Alguns recorrem à força bruta, mas outros utilizam uma técnica mais elegante: aquecer a tampa (com um secador de cabelo, chama, etc). Após esse aquecimento, é possível abrir o pote com facilidade. Explique o fenômeno.

Solução

Quando a tampa é aquecida, ela dilata levemente e diminui o atrito com a boca do pote. Dessa forma, a força necessária para retirar a tampa diminui.

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Problema 02 *

(OBF) O coeficiente de dilatação térmico do titânio é de $0,90\cdot 10^{-5}\,\textrm{K}^{-1}$ . Qual é, aproximadamente, a variação no comprimento de $1\,\textrm{m}$ de titânio quando a temperatura variar de $-140^\circ\textrm{C}$ a $20^\circ\textrm{C}$ ?

Solução

Utilizando a expressão para dilatação linear de um corpo, temos:

$\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$

Aplicando os valores, $\Delta T=(20)-(-140)=160^\circ C$ , $\alpha=0,90\cdot 10^{-5}\,\textrm{K}^{-1}$ e $l=1\,\textrm{m}$ , obtemos:

$\Delta l =1,44\cdot 10^{-3}\,\textrm{m}$

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Gabarito

$\Delta l =1,44\cdot 10^{-3}\,\textrm{m}$

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Problema 03 ***

Uma lâmina bimetálica é constituída por uma junção de duas lâminas retilíneas que têm o mesmo comprimento quando estão à temperatura $T$ . Ao aumentar sua temperatura para $T+\Delta T$ a lâmina se curva, formando um arco de circunferência de espessura total $d$ . Supondo que os coeficientes de dilatação linear das lâminas sejam iguais a $\alpha_2$ e $\alpha_1$ em que $\alpha_2>\alpha_1$ , deduza o raio de curvatura $R$ da junção entre as lâminas. Encontre também o ângulo do arco formado. Desconsidere a dilatação da espessura da lâmina.

Solução

Vamos dizer que a distância do ponto até o "centro" das duas placas vale "R", que é o valor do raio de curvatura, pela figura temos que o valor do arco gerado pela curvatura das placas é:

$L_{1}=L_{o}(1+\alpha_{1}\Delta T)=(R-d)\theta$

$L_{2}=L_{o}(1+\alpha_{2}\Delta T)=R \theta$

Em que o novo comprimento da placa é dado pela expressão $L=L_{o}(1+\alpha\Delta T)$ , para a parte mais "abaixo", pois ela é a que menos sofre do efeito de interação com a outra placa, que vai mudar a deformação original. Dividindo as duas equações temos:

$\dfrac{R-d}{R}=\dfrac{(1+\alpha_{1} \Delta T)}{1+\alpha_{2} \Delta T}$

$R=d\dfrac{(1+\alpha_{2}\Delta T)}{(\alpha_{2} -\alpha_{1})\Delta T} \approx \dfrac{d}{(\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}$

E substituindo nosso valor de $R$ na expressão original, temos que:

$\theta=\dfrac{l_{o}(1+\alpha_{2} \Delta T)}{R} \approx \dfrac{l_{o} (\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}{d}$

Se o valor de $\Delta T$ se inverter, aparecerá um valor de $\theta$ negativo, o que significa que a placa vai se encurvar, contudo para o outro lado.

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Gabarito

$R=d\dfrac{(1+\alpha_{2}\Delta T)}{(\alpha_{2} -\alpha_{1})\Delta T} \approx \dfrac{d}{(\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}$

$\theta=\dfrac{l_{o}(1+\alpha_{2} \Delta T)}{R} \approx \dfrac{l_{o} (\alpha_{2}-\alpha_{1})\Delta T}{d}$

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Problema 04 **

O pêndulo de um relógio é feito de cobre e possui período $\tau$ no inverno. No verão, a temperatura média do relógio aumenta em $\Delta T$ e, por conta disso, o período do relógio sofre uma leve alteração (e portanto sua medida de tempo também sofre um desvio). Calcule o novo período do pêndulo sabendo que o coeficiente de dilatação linear do cobre vale $\alpha$ . Diga também se o relógio atrasa ou adianta sua marcação.

Solução

O período de oscilação de um pêndulo vale:

$\tau=\sqrt{\dfrac{l}{g}}$

Em que $l$ é comprimento do fio e $g$ é a aceleração da gravidade. Assim, no inverno temos que:

$\tau=\sqrt{\dfrac{l_0}{g}}$

No verão, a temperatura média do pêndulo aumenta em $\Delta T$ , de forma que o fio metálico dilata e o período de oscilação aumenta. Utilizando a expressão do novo comprimento do fio $l=l_0(1+\alpha \Delta T)$ , temos:

$\tau' = \sqrt{\dfrac{l_0(1+\alpha \Delta T)}{g}}$

Note que podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:

$\tau' = \tau \sqrt{(1+\alpha \Delta T)}$

Como o novo período do pêndulo é maior, ao longo de um dia, ele oscilará menos vezes que o esperado, de forma que ele marcará um valor de tempo menor que o correto. Dessa forma, o relógio atrasa.

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Gabarito

$\tau' = \tau \sqrt{(1+\alpha \Delta T)}$

O relógio atrasa.

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Problema 05 *

Entre duas paredes rígidas são colocadas duas barras metálicas diferentes. Elas possuem comprimentos $l_1$ e $l_2$ à temperatura ambiente e coeficientes de dilatação linear $\alpha_1$ e $\alpha_2$ , respectivamente. Calcule a variação de temperatura necessária para que as barras se encostem. A distância entre as paredes vale $L>l_1+l_2$ .

Solução

Para que as barras se encostem, elas devem preencher o espaço entre as paredes, ou seja:

$\bar{l}_1+\bar{l}_2=L$

Em que $\bar{l}_1$ e $\bar{l}_2$ são os comprimentos das barras após o aquecimento. Podemos utilizar a expressão da dilatação linear das barras:

$\bar{l}_1= l_1(1+\alpha_1 \Delta T)$

$\bar{l}_2= l_2(1+\alpha_2 \Delta T)$

Assim, temos:

$\Delta T = \dfrac{L-(l_1+l_2)}{(l_1\alpha_1+l_2\alpha_2)}$

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Gabarito

$\Delta T = \dfrac{L-(l_1+l_2)}{(l_1\alpha_1+l_2\alpha_2)}$

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Problema 06 *

Tsuchie possui um triângulo isósceles que é constituído de dois tipos diferentes de arames metálicos. Os lados de comprimento $l_0$ possuem coeficiente de dilatação linear $\alpha_0$ enquanto o lado de comprimento $l_1$ possui um coeficiente $\alpha_1$ . Calcule qual deve ser a variação de temperatura $\Delta T$ que Tsuchie deve fornecer ao sistema para que o triângulo se torne equilátero.

Solução

Após a dilatação, os lados devem possui comprimentos iguais. Ou seja:

$l=l_0(1+\alpha_0\Delta T)$

$l=l_1(1+\alpha_1\Delta T)$

Igualando as expressões, temos:

$l_0(1+\alpha_0\Delta T) = l_1(1+\alpha_1\Delta T)$

$\Delta T = \dfrac{l_0-l_1}{\alpha_1 l_1-\alpha_0 l_0}$

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Gabarito

$\Delta T = \dfrac{l_0-l_1}{\alpha_1 l_1-\alpha_0 l_0}$

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Problema 07 **

Mostre que a relação comentada na aula teórica é verdadeira para um paralelepípedo (caixa) feito de material isotrópico:

$\gamma=3\alpha$

Em que $\gamma$ é o coeficiente de dilatação volumétrica e $\alpha$ é o coeficiente de dilatação linear do mesmo material.

Solução

Suponha que a caixa possui dimensões $a_0$ , $b_0$ e $c_0$ inicialmente. Seu volume é, portanto:

$V_0= a_0 b_0 c_0$

Após o aquecimento do sistema, o volume passará a ser:

$V=V_0(1+\gamma \Delta T)$

Mas também suas dimensões serão alteradas da seguinte forma:

$a=a_0(1+\alpha \Delta T)$

$b=b_0(1+\alpha \Delta T)$

$c=c_0(1+\alpha \Delta T)$

Ou seja, temos que:

$V=abc=V_0(1+\gamma \Delta T)$

$a_0b_0c_0 (1+\alpha \Delta T)^3=V_0 (1+\gamma \Delta T)$

Como $\alpha << 1$ e, em geral, as variações de temperatura $\Delta T$ não são tão grandes, podemos fazer a seguinte aproximação:

$(1+\alpha \Delta T)^3\approx 1+3\alpha \Delta T$

Logo, fazendo algumas simplificações, provamos que:

$\gamma=3\alpha$

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Problema 08 *

Considere uma esfera de massa $m_0$ e coeficiente de dilatação linear $\alpha$ . Seu raio vale $R$ quando a temperatura é $T$ . Calcule a densidade dessa esfera em função de uma variação de temperatura $\Delta T$ .

Solução

Uma consequência interessante do fenômeno da dilatação dos materiais é a alteração de densidade. Pela conservação de massa, um sistema isolado não pode ter sua massa alterada, então, se o seu volume aumenta por meio de um aumento de temperatura, sua densidade será alterada.

Temos a seguinte relação:

$m=\rho V = \,\textrm{cte}$

Comparando os estados final com inicial, temos:

$m_0 = \rho V$

O volume vale inicialmente $V_0=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ , e, após o aquecimento, ele passa a ser $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)$ . Logo:

$m_0 = \rho\dfrac{4}{3}\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)$

$\rho = \dfrac{3m_0}{4\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)}$

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Gabarito

$\rho = \dfrac{3m_0}{4\pi R^3(1+3\alpha \Delta T)}$

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Problema 09 **

Laerte realizou o seguinte experimento em laboratório. Ele decide encher uma panela cilíndrica de altura $H$ com um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica $\gamma_l$ . Após aquecer o sistema em $\Delta T$ graus centígrados, ele esperava que parte do líquido fosse derramar da panela, ele esperava que parte do líquido fosse transbordar da panela pois seu volume aumentaria devido à dilatação volumétrica do fluído. No entanto, ele constatou que, na realidade, a altura do líquido desceu $h$ em relação à borda do recipiente.

Explique o fenômeno e calcule o coeficiente de dilatação volumétrico da panela utilizada por Laerte. Considere que não há perda de massa de água por evaporação.

Solução

Quando o sistema é aquecido, pode parecer que o líquido deveria transbordar a primeira vista. No entanto, tanto o líquido quanto a panela esquentam, de forma que ambos dilatam. Nesse sistema, é possível perceber que a panela possui um maior $\gamma$ que o líquido, por isso há uma "sobra" de volume.

A diferença entre o volume final da panela com o volume final do líquido é o espaço vazio da panela, ou seja:

$\Delta V = V_{panela}-V_{liquido}$

O volume final da panela vale $V_{panela}=\pi R^2 H (1+\gamma_p)$ , em que $\gamma_p$ é o coeficiente de dilatação volumétrica da panela. O volume final do líquido vale $V_{liquido}=\pi R^2 H (1+\gamma_l)$ . Assim, temos:

$\pi R^2 h = \pi R^2 H (1+\gamma_p) + \pi R^2 H (1+\gamma_l)$

Resolvendo e simplificando a equação acima, temos:

$\gamma_p = \gamma_l + \dfrac{h}{H\Delta T}$

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Gabarito

$\gamma_p = \gamma_l + \dfrac{h}{H\Delta T}$

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Problema 10 *

(OBF) Uma placa de metal retangular de espessura constante possui uma abertura quadrada em seu centro. A figura abaixo mostra a placa na temperatura ambiente.

Quando a placa é aquecida homogeneamente, a figura que melhor a representa dilatata é:

Solução

Existem duas coisas principais que devemos perceber para marcar o item correto. Primeiramente, devemos notar que o tamanho do buraco aumentará, e isso vale para qualquer formato. Um jeito simples de ver isso é imaginar que o buraco fosse preenchido (ou que fizemos um corte na placa e não retiramos o pedaço interior à ele). A figura abaixo ilustra a situação para um buraco circular. À esquerda, temos a placa sem o furo, apenas com a região circular demarcada em destaque. As linhas vermelhas tracejadas indicam as fronteiras das superfícies após o aumento de temperatura. À direita, temos a mesma situação, mas a região circular não é mais preenchida, deixando um buraco na placa. Perceba que o fato da região não estar preenchida não altera o fato de que suas fronteiras irão expandir da mesma forma que o fariam caso não houvesse o buraco, como mostra a imagem à esquerda. Desse modo, concluímos que o tamanho do buraco deve aumentar.

Em segundo, quando a placa é aquecida de forma homogênea, a dilatação na grande maioria dos materiais ocorre de forma isotrópica; isto é, o coeficiente de dilatação linear é o mesmo em todas as direções. Isso significa que todos os lados do quadrado (de mesmo comprimento) aumentam igualmente de tamanho, e portanto seu formato final ainda deve ser o de um quadrado. Por fim, vemos então que o único item a obedecer tais condições é o Item (d), no qual o buraco mantém seu formato inicial e aumenta em tamanho.

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Gabarito

Item (d)

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Problema 11 *

Um arame é encurvado em forma de um aro circular de raio $R$ , tendo, porém, um uma forlga $d$ entre suas extremidades, conforme indica a figura abaixo.

Ao aquecer esse arame, é correto afirmar que a medida de $R$ e $d$ , respectivamente:

a) aumentará - não se alterará

b) aumentará - aumentará

c) aumentará - diminuirá

d) não se alterará - aumentará

e) não se alterará - diminuirá

Solução

Conforme foi demonstrado no problema anterior, tanto o "buraco" quanto o objeto dilatam quando há um aumento na temperatura, dessa forma, $R$ e $d$ aumentam na mesma proporção. Portanto item b).

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Gabarito

Item b)

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Problema 12 ***

O Calor nos Aproxima ou nos Afasta?

(Problemas da Semana 167) Daniel é um ávido leitor que adora ler livros de romance. Em muitos desses livros ele vê o calor entre 2 pessoas como sendo algo importante na história que altera as relações dos protagonistas. Ele quer investigar isso na física e para esse fim ele decide adquirir 2 esferas de aço de raio $R$ e decide fazer um experimento com elas: ele deixa uma suspensa e outra no chão, conforme a figura, e fornece a mesma quantidade de calor $Q$ para as 2.

Sabendo que o coeficiente de dilatação térmico linear do aço vale $\gamma$ e o calor específico vale $c$ , diga se após o aquecimento as bolas se afastam ou se aproximam, e o quanto se afastam ou aproximam. Você pode desconsiderar os efeitos da gravidade, mas vale a pena pensar como a gravidade influenciaria nesse experimento!

Solução

Veja a solução da Semana 167.

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Gabarito

Veja a solução da Semana 167.

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Problema 13 *

A gasolina é vendida por litro, mas em sua utilização como combustível, a massa é o que importa. Um aumento da temperatura do ambiente leva a um aumento no volume da gasolina. Para diminuir os efeitos práticos dessa variação, os tanques dos postos de gasolina são subterrâneos. Se os tanques não fossem subterrâneos:
I. Você levaria vantagem ao abastecer o carro na hora mais quente do dia pois estaria comprando mais massa por litro de combustível.
II. Abastecendo com a temperatura mais baixa, você estaria comprando mais massa de combustível para cada litro.
III. Se a gasolina fosse vendida por kg em vez de por litro, o problema comercial decorrente da dilatação da gasolina estaria resolvido.
Identifique as proposições corretas.

Solução

Vamos analisar cada uma das proposições individualmente:

I. Falsa. Conforme foi visto anteriormente nessa lista de exercícios, um aumento na temperatura de um corpo implica uma diminuição na sua densidade (isto é, o objeto se torna "mais leve"). Em um dia quente, a gasolina ficaria menos densa e, portanto, o consumidor pagaria mais do que deveria.

II. Verdadeira. A razão é a mesma da proposição anterior: em um dia frio, a gasolina aumentaria de densidade e o consumidor pagaria menos do que deveria.

III. Verdadeira. A massa de um objeto não varia com a temperatura.

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Gabarito

As proposições II e III são corretas.

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Problema 14 ***

Até agora assumimos que o coeficiente de dilatação dos materiais é constante, independente da temperatura. No entanto, na vida real, o valor de $\alpha$ pode variar. Suponha que o coeficiente de dilatação linear de um deterinado material varia conforma a seguinte expressão:

$\alpha(T) = \alpha_0 + \eta T$

Calcule a variação de comprimento de uma barra que foi aquecida da temperatura $T_0$ até uma temperatura $T$ . O comprimento da barra vale $l_0$ inicialmente.

Dica: uma pequena variação de comprimento da barra pode ser calculada com a expressão $\Delta l = l_0 \alpha(T) \Delta T$ .

Solução

Uma pequena variação no comprimento da barra pode ser calculada como:

$dl=l_0 \alpha(T) dT$

$dl=l_0 (\alpha_0+\eta T) dT$

Podemos integrar dos dois lados para obter a expressão:

${\Delta l = l_0 \left[ \alpha_0(T-T_0) + \dfrac{\eta}{2}(T^2-T_0^2) \right] }$

OBS: A solução apresentada utiliza cálculo, mas é possível resolver esse problema com a fórmula da área de um trapézio (assim como a demonstração a expressão horária da posição do MRUV $S=S_0+v_0 t +\dfrac{1}{2}at^2$ ).

Note que, para valores pequenos de $\eta$ , a expressão acima se aproxima da fórmula clássica $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ .

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Gabarito

${\Delta l = l_0 \left[ \alpha_0(T-T_0) + \dfrac{\eta}{2}(T^2-T_0^2) \right] }$

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Problema 15 ***

Um termômetro de mercúrio é composto por um bulbo, onde grande parte do mercúrio fica guardado, e de um tubo capilar de paredes de vidro pela qual o mercúrio passa quando dilata. Considere que o volume do mercúrio no seu interior vale $V_0$ quando a temperatura ambiente é $T_0$ . Nessa temperatura, a secção transversal de área do tubo vale $S_0$ .

Seja $\gamma$ o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e $\alpha$ o coeficiente de dilatação linear do vidro do qual as paredes do termômetro são feitas. Calcule a altura da coluna de mercúrio $h$ para uma variação de temperatura $\Delta T > 0$ .

Solução

Após o aquecimento, o volume de mercúrio vale:

$V= V_0(1+\gamma \Delta T)$

Após o aquecimento, a variação do volume de mercúrio vale:

$\Delta V=V_0 \gamma \Delta T$

Se o vidro não dilatasse, a altura da coluna de mercúrio seria simplesmente a altura de um prisma de base $S_0$ e volume $\Delta V$ . A expressão incorreta então seria:

$h' = \dfrac{\Delta V}{S_0}$ (Errado)

Aplicando os valores $\gamma=1,8\cdot 10^{-4}$ , $\alpha=8,5\cdot 10^{-6}$ , $S_0=5\cdot 10^{-9}$ , $V_0=0,17\cdot 10^{-6}$ , $\Delta T = 5$ (todos os valores estão em SI) para obter uma estimativa numérica, encontramos:

$h'\approx 3,1\,\textrm{cm}$

No entanto, o vidro também dilata e precisamos levar isso em consideração para obter um termômetro preciso. Assim, o volume do bulbo vale:

$V_b=V_0(1+3\alpha \Delta T)$

Logo, um volume de mercúrio $\Delta V' = V-V_b=V_0(\gamma -3\alpha)\Delta T$ será expelido para fora do bulbo e formará a coluna do termômetro. Deve-se lembrar também que o diâmetro do tubo dilata, de forma que sua área passa a ser: