Aula 1.10 Momento angular

Escrito por Matheus Felipe R. Borges

Nesta aula vamos definir e estudar o momento angular. Ressalto que, para essa aula, o uso de notação vetorial e noções de cálculo – derivada e integral – será imprescindível. Portanto, recomenda-se que o aluno possua ideias básicas e intuição acerca de derivadas e integrais, além de um bom conhecimento e prática com operações vetoriais (produto escalar, vetorial, bem como regras básicas). Para revisar operações de produtos com vetores, consulte a aula passada 1.10. Com relação ao estudo de cálculo aplicado na Física, recomendamos a Ideia 11 (clique aqui para acessá-la).

Momento angular

Introdução: momento angular de uma partícula pontual

Vamos considerar uma partícula em um ponto $P$ com vetor posição $\vec{r}$. Se aplicarmos uma força $\vec{F}$ na partícula o torque em relação à origem será

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$

a segunda lei de Newton nos diz que

$\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}$

onde $\vec{p}$ é o momento linear da partícula, ou seja,

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}$

podemos somar e subtrair o termo $\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}+\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}-\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$

mas sabemos que $\dfrac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}=\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}+\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$, logo

$\vec{\tau}=\dfrac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}-\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$

porém, $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ é a velocidade da partícula, a velocidade e o momento linear têm a mesma direção e sentido, ou seja

$\left|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}\right|=\left|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right|\left|\vec{p}\right|\sin{0}=0$

concluímos que

$\vec{\tau}=\dfrac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}$

$\vec{\tau}=\dfrac{d\vec{L}}{dt}$

onde definimos

$\vec{L} \equiv \vec{r}\times\vec{p}$

como sendo o momento angular da partícula em relação ao ponto $P$. O momento angular exerce um papel na dinâmica das rotações como o momento linear exerce na dinâmica, em geral. Note que caso o torque seja nulo o momento angular se conserva.

$L=rp\sin{\varphi}$

$\varphi$ é o ângulo entre os vetores $\vec{p}$ e $\vec{r}$. Assim como o torque (visto na aula anterior) podemos reescrever esse resultado de duas formas, que ressaltam aspectos diferentes. Primeiro, decompor $\vec{p}$ na direção perpendicular à $\vec{r}$

Figura 1: Componente do momento linear.

 

$p_{\perp}=p\sin{\varphi}$

então

$L=rp_{\perp}$

Podemos também expressar o momento angular por

$L=r_{\perp}p=bp$

onde $b=r_{\perp}=r\sin{\varphi}$ é a distância de $P$ à direção do momento linear.

Figura 2: Distância à direção do momento linear.

 

Forças centrais

Forças centrais são forças do tipo

$\vec{F}=F(r)\hat{r}$

ou seja, sempre apontam na direção da origem.

Figura 3: Força central.

Então $\vec{F}$ e $\vec{r}$ possuem a mesma direção, logo

$|\tau|=|\vec{r}\times\vec{F}|=|\vec{r}||\vec{F}|\sin{0}=0$

$\dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}$

Portanto, o momento angular é constante. Vamos resolver um exemplo de caso com forças centrais:

Exemplo 1: Considere um pequeno disco de massa $m$ que desliza sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando em torno do centro $O$ da mesa, ao qual está ligado por um fio que passa por um orifício no ponto $O$ e é puxado verticalmente para baixo. Considere que inicialmente o disco tem velocidade $V_0$ e percorre uma trajetória circular de raio $R_0$, se o raio diminuir a metade qual a nova velocidade do disco?

Sabemos que a força de tração do fio sempre passa pelo ponto $O$, ou seja, o torque em torno do ponto $O$ é nulo, então podemos conservar o momento angular em relação aquele ponto

$L=R_0(mV_0)=\dfrac{R_0}{2}(mV)$

portanto,

$V=2V_0$

Figura 4: Mesa com um orifício.

 

Momento angular de um sistema de partículas

Considere um sistema formado por $n$ partículas, sendo $m_i$, $\vec{r}_i$ e $\vec{V_i}$ a massa, a posição e a velocidade da partícula $i$ em relação a uma origem $P$.

Figura 5: Sistema de partículas.

O momento angular total do sistema é

$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\vec{r}_i\times\vec{p}_i}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_i}$

podemos escrever a velocidade como

$\vec{V}_i=\vec{V}_{i/cm}+\vec{V}_{cm}$

Onde $\vec{V}_{cm}$ é a velocidade do centro de massa das partículas e $\vec{V}_{i/cm}$ é a velocidade da i-ésima partícula em relação ao centro de massa.

$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_i}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times(\vec{V}_{i/cm}+\vec{V}_{cm})}$

$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{cm}}$

como a velocidade do centro de massa é sempre a mesma podemos escrever

$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}+\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i}\right)\times\vec{V}_{cm}$

Sabemos que $r_{cm}=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i}}$ é a posição do centro de massa, considere $M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i}$ ($M$ é a massa total do sistema).

$\vec{L}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$

Esse é um resultado importante, ele nos diz que podemos dividir o momento angular em dois termos. O primeiro termo seria o momento angular spin $\vec{L}_{spin}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r}_i\times\vec{V}_{i/cm}}$, que pode ser traduzido como o momento angular total no referencial do centro de massa, uma espécie de “momento angular interno” do sistema. O segundo termo seria o momento angular orbital $\vec{L}_{orbital}=M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$, que pode ser interpretado como um momento “angular externo” do sistema. Esse é um resultado muito importante principalmente no estudo de corpos rígidos, pois no referencial do centro de massa de um corpo rígido todos os pontos rodam com a mesma velocidade angular, então as equações ficam (podemos tratar um corpo rígido homogêneo como um conjunto de várias pequenas massas infinitesimais $dm$, então trocamos a somatória por uma integral).

$\vec{L}=\displaystyle \int{\left(\vec{r}\times\vec{V}_{P/cm}\right)}dm+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$

para um corpo rigido que gira com velocidade angular $\vec{\omega}$ em torno do centro de massa $\vec{V}_{P/cm}=\vec{\omega}\times\vec{r}$, então

$\vec{L}=\displaystyle \int{\left[\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\right]}dm+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$

usando a relação $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$

$\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{\omega}(\vec{r}\cdot\vec{r})-\vec{r}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})$

como $\vec{\omega}$ e $\vec{r}$ são perpendiculares $\vec{\omega}\cdot\vec{r}={\omega}r\cos{\frac{\pi}{2}=0}$

$\vec{L}=\vec{\omega}\displaystyle \int{r^2}dm+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$

o termo $I_{cm}=\displaystyle \int{r^2}dm$ é o momento de inércia em relação ao centro de massa do sistema (momento de inércia será abordado de forma mais aprofundado na aula 1.12), concluímos que

$\vec{L}={I_{cm}} \vec{\omega}+M\left(\vec{r}_{cm}\times\vec{V}_{cm}\right)$

Esse é um resultado muito usado no estudo de corpos rígidos.

Figura 6: Corpo rígido rodando (referencial do centro de massa)

Exemplo 2: Suponha que você lance uma esfera de massa $m$ e raio $R$ horizontalmente com velocidade $V_0$ em um solo horizontal com coeficiente de atrito $\mu$. Determine a velocidade final da esfera. (O momento de inércia em relação ao centro de massa da esfera é $I_{cm}=\dfrac{2}{5}mR^2$)

Figura 7: Forças na esfera.

Note que enquanto existe força de atrito a esfera vai mudar tanto a velocidade angular tanto a linear. O atrito cessa quando a esfera estiver se movendo em um rolamento puro. Perceba que a esfera está em equilíbrio na vertical, ou seja, o torque do peso e da normal se anulam em relação a um dado ponto $P$ no solo e como o atrito sempre aponta na direção desse ponto o torque do atrito é nulo. Portanto, o torque total em relação ao ponto $P$ é nulo, logo podemos conservar o momento angular em relação a esse ponto.

Figura 8: velocidades da esfera

sabemos que

${L}={I_{cm}}{\omega}+mRV$

então

${L}=mRV_0={I_{cm}}{\omega}+mRV$

como no fim a esfera está em um rolamento puro $V={\omega}{R}$, concluímos

$V=\dfrac{5}{7}V_0$