Escrito por Felipe Maia
Iniciante
Certa tarde, Deduardo Letodo, avistou um objeto não reconhecido no céu e pediu a sua ajuda para estimar a distância do objeto até a superfície da Terra. Deduardo, possui todo conhecimento de astronomia de posição existente, mas no momento estava jantando na Sorveterita e decidiu deixar para você todo o trabalho.
Eduardo apenas enviou as coordenadas do objeto medidas por ele e elas foram: Altura \(h_1 = 39,21^{\circ}\) e azimute \(A_1 = 1\text{h } 4\text{m } 16,8\text{s }\). Imediatamente, você pega seu astrolábio e bússola e mede \(h_2 = 38,77^{\circ}\) e \(A_2 = 53\text{m }43,2\text{s}\). Sabendo que a distância entre você e Deduardo é de \(50\;\text{km}\) calcule a distância do objeto até a superfície da Terra.
Intermediário
Um dos métodos mais utilizados para descobrir a localização de poços de petróleos e lençóis freáticos é medir o campo Gravitacional na superfície. O intuito dessa questão é entender esse fenômeno: Como uma anomalia na massa abaixo da superfície afeta a gravidade na superfície de um planeta?
a) Primeiramente, precisamos entender conceitos importantes para compreender o funcionamento do campo gravitacional. Prove que dentro de uma casca esférica de densidade superficial \(\sigma\) é nula.
b) Agora Imagine a seguinte situação: 3 corpos massivos de massas \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\) estão posicionados cada um em um vértice de um triangulo equilátero de lado \(l\). Qual a aceleração devido a presença dos 3 corpos no baricentro do triângulo?
O objetivo do item anterior é mostrar que o princípio de superposição se aplica ao campo gravitacional, ou seja, na presença de 2 ou mais massas, o campo em um ponto \(p\) é dado por:
\[\vec{g}_{P} = \vec{g}_{1P}+\vec{g}_{2P}+\cdot\cdot\cdot +\vec{g}_{nP} \]
Ou seja:
\[\boxed{\vec{g}_{P} = \Sigma_{i=1}^n\vec{g}_{iP}}\]
Voltando agora ao enunciado da questão, o item a) nos diz que a gravidade dentro de uma casca é nula, o item b) nos diz que campos gravitacionais se somam. O que podemos concluir disso?
c) Considere um planeta com densidade constante \(\rho\) e raio \(R\), exceto por uma cavidade esférica concêntrica de raio \(r\) (\(R>r\)). Calcule a intensidade do campo gravitacional a uma distância \(a\) onde \(a>R\).
d) Agora pense em um sistema equivalente a esse, composto por um planeta de raio \(R\) e densidade \(\rho\) (sem cavidade) e outro corpo, para que o valor do campo gravitacional a uma distância \(a\) seja exatamente a mesma. Como deve ser esse sistema? (Dica: a massa pode ser negativa, tendo em vista que o sistema equivalente não é algo “real”).
e) Utilizando esse conceito de sistema equivalente e o conceito de superposição, calcule o campo gravitacional no ponto \(a (R , 0)\) em um planeta que possuí massa total \(M\) e densidade uniforme, exceto por uma cavidade esférica de raio \(r\) (\(R>r\)) e centro \(C (d,0)\).
Avançado
(Questão adaptada da Lista 3 dos Treinamentos de 2024)
O ambiente interestelar é composto majoritariamente por vácuo. Como o vácuo não serve como meio de troca de calor, podemos afirmar que as transformações termodinâmicas que ocorrem dentro de estrelas são adiabáticas, i.e.: \(PV^{\gamma} = k\) onde \(k\) é constante e \(\gamma\) o coeficiente de Poisson.
O objetivo desta questão é descobrir o valor mínimo de \(\gamma\) de uma estrela para que ela se mantenha em funcionamento. Para essa questão vamos considerar que todo o gás citado é ideal e monoatômico.
Um dos jeitos mais práticos de encontrar \(\gamma_{min}\) para que a estrela seja ativa é considerar um modelo em que toda massa da estrela \(M\) está concentrada em seu centro, envolta por uma casca esférica de gás, concêntrica, com massa \(m\) e raio \(R\) igual o da estrela.
a) No equilíbrio Hidrostático, a pressão deve ser nula na superfície da estrela. Para que isso seja verdade, qual deve ser a pressão exercida pela camada de gás?
b) Após uma perturbação, o Raio da estrela toma forma \(R’ = R + \delta R\), consequentemente, sua pressão varia para \(P’ = P + \delta P\). Encontre uma expressão para \(\delta P\) em função de \(M\), \(m\), \(R\), \(\delta R\) e \(\gamma\).
Se necessário utilize que \((1+x)^n \approx 1+nx\).
c) Neste modelo \(\gamma_{min}\) é aquele em que, após essa oscilação a estrela iniciara um M.H.S. Encontre o valor de \(\gamma_{min}\) e o período de oscilações da estrela.
O próximo modelo a ser estudado é a estrela como uma esfera de gás de densidade \(\rho (r)\) dependendo somente da distância radial, possuindo massa total \(M\) e raio \(R\).
d) Encontre uma fórmula para a variação de pressão em relação ao raio, ou seja \(\frac{dP(r)}{dr}\).
e) Assumindo pressão nula na superfície, demonstre que a energia potencial da estrela é dada por:
\[U = -3\int_0^{V(R)}dW\]
onde \(W\) representa o trabalho que a estrela realiza sobre si mesma.
f) Prove que a pressão pode ser representada por \(P= \sigma \rho (\gamma -1)\) onde \(\sigma\) é a energia por unidade de massa da estrela.
g) Seja \(K\) a energia cinética da estrela devido ao movimento das partículas de gás, mostre que \(K\) se relaciona com \(U\) da seguinte forma:
\[U = -3(\gamma-1)K\]
Após isso, encontre o valor para a energia total \(E\) da estrela em função de \(U\) e \(\gamma\).
h) Com isso, conclua qual deve ser o valor de \(\gamma_{min}\) para que a estrela se mantenha em funcionamento.