Astronomia – Semana 109

Escrito por Davi Lucas 

Iniciante

Cabelo de Romene

Romene estava conversando com seu amigo Iaum sobre o boato popular de que cortar o cabelo durante a maré alta poderia fazê-lo crescer mais rápido e mais forte. Embora soubesse que se tratava apenas de um mito, Romene ficou curioso em entender a influência da latitude nos cálculos da força de maré. No entanto, ele não possuía conhecimento teórico suficiente e precisava de sua ajuda para determinar a força de maré em função da constante gravitacional universal $G$ , massa da lua $M$ (massa da Lua), massa de Romene $m$ , raio da Terra $r$ , distância entre o centro da Terra e da Lua $R$ e latitude de Romene $\phi$.

Intermediário

Pequenininho

Max Planck determinou a distância de Planck $l_p$, que é o menor comprimento com o qual a física teórica consegue trabalhar, expressando-a em termos de três constantes fundamentais: a velocidade da luz $c$, a constante gravitacional universal $G$, e a constante de Planck reduzida $\hbar = \frac{h}{2 \pi}$.

a) Utilizando da análise dimensional das constantes mencionadas, determine a fórmula da distância de Planck $l_p$ em função das constantes citadas.

Parece intrigante, não é? Vamos, então, explorar essa ideia de forma teórica. Para simplificar a modelagem de uma situação que envolva uma distância tão pequena, consideremos um sistema composto por dois fótons orbitando o centro de massa do sistema. Suponha que esses fótons estejam confinados à órbita, de modo que nenhuma informação escape do plano da órbita.

b) Agora, considere uma situação peculiar em que um fóton, com comprimento de onda $\lambda$, esteja em repouso. Determine a massa equivalente desse fóton.

c) A partir da mecânica newtoniana, encontre o diâmetro orbital.

d) Sabendo que a distância de Planck pode ser entendida como o comprimento abaixo do qual não é possível obter nenhuma informação (ou seja, o comprimento de onda é tal que ele se encaixa perfeitamente na órbita), determine a distância de Planck $l_p$.

Avançado

Fotometria da lambança?

Gustavinho estava estudando fotometria para a seletiva online quando leu uma notícia no jornal Bor Ino que afirmava que o formato da Lua não é perfeitamente esférico, mas ligeiramente achatado. Isso despertou uma dúvida:

” Como o formato da Lua interfere na reflexão dos raios solares em direção à Terra? “

Sabendo que o ângulo de fase $\alpha$ é o ângulo entre o Sol e a Terra vistos da Lua, e que a função de fase integral $\Phi \equiv \frac{I(\alpha)}{I(0)}$ compara a intensidade da luz refletida quando há um ângulo $\alpha$ com a intensidade quando $\alpha = 0^\circ$, ajude Gustavinho a desenvolver suas ideias nos próximos itens.

a) Para entender melhor a situação, Gustavinho começou analisando um modelo simplificado, que incorre no erro de considerar a distribuição da luminosidade como uniforme. Nesse modelo, o fluxo de luz que chega à Terra é proporcional à área iluminada visível da Lua. Nessa ocasião, determine a função de fase integral em função do ângulo $\alpha$.

Gustavinho percebeu que, devido ao formato irregular da Lua, a distribuição da luz refletida não é uniforme. Isso o levou a pensar que, para contabilizar os efeitos das diferentes formas e geometrias de planetas e luas, deveria haver algum padrão de referência. E ele estava certo! Ao consultar a sagrada Apostila Magna, Gustavinho descobriu o conceito de superfície lambertiana, que é definida como uma superfície que:

– Reflete 100% da luz incidente no hemisfério superior;
– Apresenta a mesma radiância independentemente do ângulo de observação.

b) Para utilizar a superfície lambertiana como referência, Gustavinho primeiro precisava determinar a luminosidade dessa superfície. A única informação que ele possuía indicava que, ao conservar a energia em uma porção $dA$ da superfície, ele chegaria à seguinte equação:

$$E dA = \int_{0}^{2 \pi} L_{lam} d\Omega \cos e dA$$

Ajude Gustavinho descobrindo a luminosidade da superfície lambertiana $L_{lam}$ em função do ângulo de inclinação $i$ e do fluxo $F$.

Perfeito! Agora que tinha um parâmetro de comparação, a superfície lambertiana, Gustavinho podia analisar como a radiação refletida varia em diferentes regiões da Lua. Para isso, ele supôs que a Lua era uma superfície lambertiana perfeita e utilizou um sistema de coordenadas esféricas. Nesse sistema, a origem está no centro da Lua, e os ângulos são medidos a partir do ponto onde a linha que liga a Terra à Lua intersecta a superfície lunar. O “Equador” desse sistema é o plano que contém a Terra, a Lua e o Sol. A posição de um elemento de área $dA$ na superfície lunar é caracterizada pela longitude $\Omega$ e latitude $\Theta$, conforme ilustrado na imagem abaixo, encontrada por Gustavinho no livro Introduction to Planetary Photometry.

c) Utilizando a trigonometria esférica, determine o ângulo de inclinação $i$ da radiação proveniente do Sol e o ângulo de emissão $e$.

d) Com esses resultados em mãos, determine a função de fase integral para essa situação em função de $\alpha$.