Escrito por Davi Lucas
Iniciante
Cabelo de Romene
Romene estava conversando com seu amigo Iaum sobre o boato popular de que cortar o cabelo durante a maré alta poderia fazê-lo crescer mais rápido e mais forte. Embora soubesse que se tratava apenas de um mito, Romene ficou curioso em entender a influência da latitude nos cálculos da força de maré. No entanto, ele não possuía conhecimento teórico suficiente e precisava de sua ajuda para determinar a força de maré em função da constante gravitacional universal \( G \) , massa da lua \( M\) (massa da Lua), massa de Romene \( m \) , raio da Terra \( r \) , distância entre o centro da Terra e da Lua \( R \) e latitude de Romene \( \phi \).
Intermediário
Pequenininho
Max Planck determinou a distância de Planck \( l_p \), que é o menor comprimento com o qual a física teórica consegue trabalhar, expressando-a em termos de três constantes fundamentais: a velocidade da luz \( c \), a constante gravitacional universal \( G \), e a constante de Planck reduzida \( \hbar = \frac{h}{2 \pi} \).
a) Utilizando da análise dimensional das constantes mencionadas, determine a fórmula da distância de Planck \( l_p \) em função das constantes citadas.
Parece intrigante, não é? Vamos, então, explorar essa ideia de forma teórica. Para simplificar a modelagem de uma situação que envolva uma distância tão pequena, consideremos um sistema composto por dois fótons orbitando o centro de massa do sistema. Suponha que esses fótons estejam confinados à órbita, de modo que nenhuma informação escape do plano da órbita.
b) Agora, considere uma situação peculiar em que um fóton, com comprimento de onda \( \lambda \), esteja em repouso. Determine a massa equivalente desse fóton.
c) A partir da mecânica newtoniana, encontre o diâmetro orbital.
d) Sabendo que a distância de Planck pode ser entendida como o comprimento abaixo do qual não é possível obter nenhuma informação (ou seja, o comprimento de onda é tal que ele se encaixa perfeitamente na órbita), determine a distância de Planck \( l_p \).
Avançado
Fotometria da lambança?
Gustavinho estava estudando fotometria para a seletiva online quando leu uma notícia no jornal Bor Ino que afirmava que o formato da Lua não é perfeitamente esférico, mas ligeiramente achatado. Isso despertou uma dúvida:
” Como o formato da Lua interfere na reflexão dos raios solares em direção à Terra? “
Sabendo que o ângulo de fase \( \alpha \) é o ângulo entre o Sol e a Terra vistos da Lua, e que a função de fase integral \( \Phi \equiv \frac{I(\alpha)}{I(0)} \) compara a intensidade da luz refletida quando há um ângulo \( \alpha \) com a intensidade quando \( \alpha = 0^\circ \), ajude Gustavinho a desenvolver suas ideias nos próximos itens.
a) Para entender melhor a situação, Gustavinho começou analisando um modelo simplificado, que incorre no erro de considerar a distribuição da luminosidade como uniforme. Nesse modelo, o fluxo de luz que chega à Terra é proporcional à área iluminada visível da Lua. Nessa ocasião, determine a função de fase integral em função do ângulo \( \alpha \).
Gustavinho percebeu que, devido ao formato irregular da Lua, a distribuição da luz refletida não é uniforme. Isso o levou a pensar que, para contabilizar os efeitos das diferentes formas e geometrias de planetas e luas, deveria haver algum padrão de referência. E ele estava certo! Ao consultar a sagrada Apostila Magna, Gustavinho descobriu o conceito de superfície lambertiana, que é definida como uma superfície que:
– Reflete 100% da luz incidente no hemisfério superior;
– Apresenta a mesma radiância independentemente do ângulo de observação.
b) Para utilizar a superfície lambertiana como referência, Gustavinho primeiro precisava determinar a luminosidade dessa superfície. A única informação que ele possuía indicava que, ao conservar a energia em uma porção \(dA\) da superfície, ele chegaria à seguinte equação:
\[ E dA = \int_{0}^{2 \pi} L_{lam} d\Omega \cos e dA\]
Ajude Gustavinho descobrindo a luminosidade da superfície lambertiana \( L_{lam} \) em função do ângulo de inclinação \( i \) e do fluxo \( F \).
Perfeito! Agora que tinha um parâmetro de comparação, a superfície lambertiana, Gustavinho podia analisar como a radiação refletida varia em diferentes regiões da Lua. Para isso, ele supôs que a Lua era uma superfície lambertiana perfeita e utilizou um sistema de coordenadas esféricas. Nesse sistema, a origem está no centro da Lua, e os ângulos são medidos a partir do ponto onde a linha que liga a Terra à Lua intersecta a superfície lunar. O “Equador” desse sistema é o plano que contém a Terra, a Lua e o Sol. A posição de um elemento de área \(dA\) na superfície lunar é caracterizada pela longitude \( \Omega \) e latitude \( \Theta \), conforme ilustrado na imagem abaixo, encontrada por Gustavinho no livro Introduction to Planetary Photometry.
c) Utilizando a trigonometria esférica, determine o ângulo de inclinação \( i \) da radiação proveniente do Sol e o ângulo de emissão \( e \).
d) Com esses resultados em mãos, determine a função de fase integral para essa situação em função de \( \alpha \).