Astronomia – Semana 114

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

O Enigma da Estrela Cintilante

Patolino, um astrônomo amador com um olhar aguçado e uma paixão pelas estrelas, está prestes a observar a sua estrela favorita, Iaum. Durante a Olimpiada Latino Americana de Astronomia e Astronáutica ele aponta telescópio recém-calibrado e consegue obter alguns dados importantes sobre a mesma.

Consultando em seu almanaque, Patolino descobriu que Iaum possui a classe espectral GV e conseguiu medir o seu comprimento de onda de pico, obtendo o valor $\lambda_{pico} = 577,3 \text{ nm}$. Também é conhecido que a sua temperatura é de \text{T = 5200 \text{ K}}.

Derrepente, Patolino teve um compromisso de última hora e pediu para você terminar o trabalho dele. Patolino estava conduzindo uma pesquisa sobre Iaum e estava buscnado desobrir as seguintes propriedades da estrela: Massa, Raio e distância ao Sol.

Quais dessas grandezas você consegue descobrir com essas informações? Estime todas que conseguir!

Intermediário

Rei Arthur Gurjinho

Arcturos, a estrela que deu origem ao nome Arthur, é a estrela favorita do lendário rei da inglaterra, Rei Arthur Gurjinho. Sabendo que o ângulo horário de uma estrela que se encontra no horizonte é dada por,

$$\cos H = -\tan\delta\tan\phi$$

Onde $H$ é o ângulo horário, $\delta$ é a declinação do astro e $\phi$ a latitude do local que você se encontra.
Sabendo disso, calcule por quanto tempo a estrela Arcturos ficou visível no céu no dia 21/12/725, em Londres, $\phi = 51,5^\circ$. Considere que a estrela não pode ser vista enquanto o Sol está acima do horizizonte.

Dados: Devido a precessão dos equinócios, no ano de 725, as coordenadas de Arcturos eram, $(\alpha_A, \delta_A) = (13^h17^m, 26^\circ 18')$

Avançado

Cegueira de Horizonte

Quando um feixe de Luz passa por uma região do espaço, a sua intensidade varia na forma,

$$I = I_0 e^{-\tau (z)}$$

Onde $I$ é a intensidade após sair da determinada região, $I_0$ a intensidade imediatamente antes de entrar na determinada região e $\tau$ é uma grandeza conhecida como profundidade óptica (que é função da distância zenital).

Quando a Luz passa por um sistema gasoso, formado por particulas aproximadamente uniformes e opacas (como o ar da nossa atmosfera, por exemplo) a profundidade óptica é proporcional a distância percorrida pela luz durante a sua passagem pelo meio, isto é $\tau\propto r$.

Com essas informações, calcule a diferença de magnitude de uma mesma estrela quando ela se apresenta no zenite com relação a quando a mesma se apresenta com uma altura $h$. Utilize a aproximação de uma atmosfera plana. Deixe suas respostas em função de $z$ e $\tau (0)$

Internacional

Problemas com a Precisão

Marisso estava cansado de não conseguir encontrar com precisão a posição de uma estrela em seu telescópio e decidiu investigar os efeitos que poderiam estar causando esses erros aparentes. Após ler alguns artigos, ele descobriu que 2 principais efeitos que fazem um objeto aparentar estar em um ângulo $\Delta\theta_{i}$, desviado da sua posição original, são eles: \textit{Paralaxe e Aberração Estelar}. Nessa questão, seu objetivo é ajudar Marrisso a entender o porquê desses efeitos acontecerem.

a) A paralaxe é o mais básico deles e ocorre por causa da mudança de posição da Terra ao longo do Ano. Considere que uma estrela está localizada de tal modo que a linha $\text{Sol-Estrela}$ é perpendicular ao plano da órbita da Terra. Desenhe o esquema da situação e, considerando o raio da órbita da Terra como $r$ e a distância da estrela como $d$, obtenha uma fórmula para $\Delta\theta_{p}$ causado pela paralaxe.

A aberração estelar por sua vez advém de efeitos relativísticos a serem explorados a seguir.

b) Considere um referencial $S^{\prime}$ se movendo com velocidade $v\hat{x}$ em relação ao referencial $S$. Como as coordenadas $(x^{\prime},t^{\prime})$ se relacionam com as coordenadas $(x,t)$? Deixe suas respostas em função do Fator de Lorentz, $\gamma$, onde

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

c) Supondo que haja um emissor de radiação no referencial $S^{\prime}$ e que o mesmo emita luz em um ângulo $\alpha^{\prime}$ em relação ao eixo $x$. No referencial $S$ o dispositivo aparentará emitir luz em um ângulo $\alpha$. Prove, utilizando as transformações de Lorentz, que a relação entre $\alpha$ e $\alpha^{\prime}$ é dada por:

$$\cos\alpha=\frac{\cos\alpha^{\prime}+v/c}{1+(\cos\alpha^{\prime})v/c}$$

d) Repita o item anterior, mas prove utilizando a adição de velocidade relativística.

e) Considerando que a linha $\text{Sol-Estrela}$ é perpendicular ao plano da órbita da Terra, e que a Terra se move com velocidade $v$, encontre uma expressão para o desvio $\Delta\theta_{A}$ causado pela aberração estelar.

f) Qual desses efeitos você acha que é mais significativo, a paralaxe ou a aberração estelar?