Escrito por Felipe Maia
Iniciante
O Enigma da Estrela Cintilante
Patolino, um astrônomo amador com um olhar aguçado e uma paixão pelas estrelas, está prestes a observar a sua estrela favorita, Iaum. Durante a Olimpiada Latino Americana de Astronomia e Astronáutica ele aponta telescópio recém-calibrado e consegue obter alguns dados importantes sobre a mesma.
Consultando em seu almanaque, Patolino descobriu que Iaum possui a classe espectral GV e conseguiu medir o seu comprimento de onda de pico, obtendo o valor $$\lambda_{pico} = 577,3 \text{ nm}$$. Também é conhecido que a sua temperatura é de \text{T = 5200 \text{ K}}.
Derrepente, Patolino teve um compromisso de última hora e pediu para você terminar o trabalho dele. Patolino estava conduzindo uma pesquisa sobre Iaum e estava buscnado desobrir as seguintes propriedades da estrela: Massa, Raio e distância ao Sol.
Quais dessas grandezas você consegue descobrir com essas informações? Estime todas que conseguir!
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]O Sol também é uma estrela da classe espectral GV e totas as estrelas dessa, estão na sequencia principal[/spoiler]
Intermediário
Rei Arthur Gurjinho
Arcturos, a estrela que deu origem ao nome Arthur, é a estrela favorita do lendário rei da inglaterra, Rei Arthur Gurjinho. Sabendo que o ângulo horário de uma estrela que se encontra no horizonte é dada por,
\[\cos H = -\tan\delta\tan\phi\]
Onde $$H$$ é o ângulo horário, $$\delta$$ é a declinação do astro e $$\phi$$ a latitude do local que você se encontra.
Sabendo disso, calcule por quanto tempo a estrela Arcturos ficou visível no céu no dia 21/12/725, em Londres, $$\phi = 51,5^\circ $$. Considere que a estrela não pode ser vista enquanto o Sol está acima do horizizonte.
Dados: Devido a precessão dos equinócios, no ano de 725, as coordenadas de Arcturos eram, $$(\alpha_A, \delta_A) = (13^h17^m, 26^\circ 18′)$$
Avançado
Cegueira de Horizonte
Quando um feixe de Luz passa por uma região do espaço, a sua intensidade varia na forma,
\[I = I_0 e^{-\tau (z)}\]
Onde $$I$$ é a intensidade após sair da determinada região, $$I_0$$ a intensidade imediatamente antes de entrar na determinada região e $$\tau$$ é uma grandeza conhecida como profundidade óptica (que é função da distância zenital).
Quando a Luz passa por um sistema gasoso, formado por particulas aproximadamente uniformes e opacas (como o ar da nossa atmosfera, por exemplo) a profundidade óptica é proporcional a distância percorrida pela luz durante a sua passagem pelo meio, isto é $$\tau\propto r$$.
Com essas informações, calcule a diferença de magnitude de uma mesma estrela quando ela se apresenta no zenite com relação a quando a mesma se apresenta com uma altura \(h\). Utilize a aproximação de uma atmosfera plana. Deixe suas respostas em função de \(z\) e \(\tau (0)\)
Internacional
Problemas com a Precisão
Marisso estava cansado de não conseguir encontrar com precisão a posição de uma estrela em seu telescópio e decidiu investigar os efeitos que poderiam estar causando esses erros aparentes. Após ler alguns artigos, ele descobriu que 2 principais efeitos que fazem um objeto aparentar estar em um ângulo \(\Delta\theta_{i}\), desviado da sua posição original, são eles: \textit{Paralaxe e Aberração Estelar}. Nessa questão, seu objetivo é ajudar Marrisso a entender o porquê desses efeitos acontecerem.
a) A paralaxe é o mais básico deles e ocorre por causa da mudança de posição da Terra ao longo do Ano. Considere que uma estrela está localizada de tal modo que a linha \(\text{Sol-Estrela}\) é perpendicular ao plano da órbita da Terra. Desenhe o esquema da situação e, considerando o raio da órbita da Terra como \(r\) e a distância da estrela como \(d\), obtenha uma fórmula para \(\Delta\theta_{p}\) causado pela paralaxe.
A aberração estelar por sua vez advém de efeitos relativísticos a serem explorados a seguir.
b) Considere um referencial \(S^{\prime}\) se movendo com velocidade \(v\hat{x}\) em relação ao referencial \(S\). Como as coordenadas \((x^{\prime},t^{\prime})\) se relacionam com as coordenadas \((x,t)\)? Deixe suas respostas em função do Fator de Lorentz, \(\gamma\), onde
\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]
c) Supondo que haja um emissor de radiação no referencial \(S^{\prime}\) e que o mesmo emita luz em um ângulo \(\alpha^{\prime}\) em relação ao eixo \(x\). No referencial \(S\) o dispositivo aparentará emitir luz em um ângulo \(\alpha\). Prove, utilizando as transformações de Lorentz, que a relação entre \(\alpha\) e \(\alpha^{\prime}\) é dada por:
\[\cos\alpha=\frac{\cos\alpha^{\prime}+v/c}{1+(\cos\alpha^{\prime})v/c}\]
d) Repita o item anterior, mas prove utilizando a adição de velocidade relativística.
e) Considerando que a linha \(\text{Sol-Estrela}\) é perpendicular ao plano da órbita da Terra, e que a Terra se move com velocidade \(v\), encontre uma expressão para o desvio \(\Delta\theta_{A}\) causado pela aberração estelar.
f) Qual desses efeitos você acha que é mais significativo, a paralaxe ou a aberração estelar?