INICIANTE
(Big Mac do Bojan) Após voltar de um longo dia de estudos, Bojan decidiu ir para o Mc Donalds comer o seu lanche favorito: o famoso Big Mac. Sabendo que Bojan partiu de sua escola, que está à \(2\) km do fast food, e se movimenta com velocidade constante \(V = 5 \) \(m/s\), calcule após quanto tempo o garoto conseguirá distinguir angularmente um Big Mac. Para isso, considere que o Big Mac é, aproximadamente, uma esfera de raio \(r = 4\) cm, que o comprimento de onda no visível é \(\lambda = 550 \) nm e que o diâmetro do olho humano é \(d = 6 \) mm
INTERMEDIÁRIO
(Terra Cúbica) Em um mundo alternativo, a Terra não é mais uma esfera, mas, sim, um cubo, como no jogo Minecraft. Essa Terra, ainda assim, possui uma linha do equador e, nela, a latitude é medida como o ângulo desde o centro do equador terrestre até um ponto de interesse em sua superfície, como na imagem:
Com base nisso, determine a altura angular \(h\) com que uma pessoa em uma latitude \(\varphi\) verá o Sol em sua passagem meridiana. Para tanto, considere que as dimensões do cubo são \(L\), que a distância do Sol até a Terra é \(d\) e que a declinação do Sol na data de observação é \(\delta\), tal que \(\delta\) e \(\varphi\) \(\in [0,\dfrac{\pi}{4}]\). Encontre uma expressão geral e depois simplifique-a para o caso limite em que \(d >> L\).
AVANÇADO
(Satélite Defeituoso) Após diversas observações, Mextre notou que o seu satélite artificial, A-N01T3-T3M-MH5, construído em 2012, havia apresentado um grande defeito e, por isso, deveria ser levado urgentemente de volta à Terra, antes que explodisse e causasse sérias consequências. Mextre sabia que o nodo ascendente da órbita do satélite coincidia com o Meridiano de Greenwich, que a inclinação orbital do satélite era \(i\) e que sua órbita era circular. Entretanto, ele não sabia a principal informação necessária para realizar a transfência do satélite à Terra: o seu raio orbital \(R\). Com base nisso, foi necessário um método experimental alternativo para determinar a distância do satélite até a Terra e, com isso, lançá-lo de volta à Terra. Considere, para os próximos itens, que Mextre se encontra no meridiano de Greenwich, em um local de latitude \(\varphi\). Ao longo da questão, pode-se desconsiderar o movimento de rotação da Terra.
a) Como Mextre não tinha muito tempo disponível, o método sugerido por ele foi o de, a partir do momento em que o satélite passasse pelo seu nodo ascendente, emitir um sinal que seria futuramente recebido pelo satélite em um ponto \(P\) de sua órbita e, após isso, seria imediamente refletido de volta. O objetivo do garoto era calcular o tempo de duração entre o envio e recebimento do sinal e, com isso, concluir a distância do satélite ao centro da Terra. Sabendo que ao fim do experimento, foi medido um intervalo de tempo correspondente igual à \(\Delta t\), mostre que pode-se encontrar o raio orbital do satélite a partir da equação:
\[R^4 + \alpha R^3 + \beta R^2 + \gamma R + \delta = \epsilon R^{3/2} \]
e encontre os valores dos coeficientes \(\alpha\), \( \beta\), \(\gamma\), \(\delta\) e \(\epsilon\).
Se necessário use que, para \(x << 1\), \(\sin x \approx \tan x \approx x \) e \(\cos x \approx 1 – \dfrac{x^2}{2}\).
b) Visando simplificar nossas contas, analisaremos o caso em que só há uma solução física possível para a equação anterior. Sabendo disso, escreva a relação que deve ser satisfeita entre \(\varphi\) e \(i\) nessa condição, bem como, calcule os respectivos valores solução de \(\varphi_M\) e \(i\) para tal. Conclua, com isso, o raio orbital \(R\) do satélite se a duração total do experimento for de \(\Delta t = 1.23\) \(min\).
Agora que Mextre sabe o raio orbital do satélite está tudo pronto para que ele possa enviar A-N01T3-T3M-MH5 de volta a Terra! Considere, portanto, que, para isso, o jovem pretende lançar um projétil de massa \(m_C = 90\) \(kg\) que irá colidir inelásticamente com o satélite, que possui massa \(m_S = 1000 \) \(kg\), de modo que o objeto resultante após a colisão caia na superfície terrestre, assim, evitando a grande catastrófe que ocorreria se o satélite explodisse ainda em órbita.
c) Sabendo que a colisão ocorrerá quando o satélite estiver no nodo ascendente de sua órbita e que a direção do vetor velocidade do prójetil está contida no plano do equador, apontando perpedicularmente a direção que liga o centro da Terra e o nodo ascendente da órbita do satélite, e com sentido contrário ao do movimento do satélite, determine a mínima velocidade \(V_{min}\) que o projétil deve ter, imediatamente antes da colisão, para que seja possível realizar a transferência aspirada por Mextre.