Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante
Descolando
Dois blocos, $$1$$ (massa $$m_1$$) e $$2$$ (massa $$m_2$$) repousam tranquilamente sobre uma mesa horizontal lisa, estando o bloco $$1$$ em contato com uma parede vertical. Eles estão conectados entre si por uma mola ideal de constante elástica $$k$$ inicialmente indeformada. Natônio, um jovem físico, fica bastante incomodado com tal tranquilidade e resolve perturbar o sistema, empurrando o bloco $$2$$ uma distância $$x$$ em direção à parede, e então soltando-o. Encontre a velocidade do centro de massa do sistema no momento em que o bloco $$1$$ “descola” da parede.
Intermediário
Oscilações normais
Uma mola ideal é distendida de $$\Delta l_1$$ e fixada em uma mesa horizontal nos pontos $$A$$ e $$B$$. A razão entre os períodos de pequenas oscilações transversais e longitudinais de uma pequena massa fixada no ponto médio da mola é igual a $$n_1=4$$. Depois, aumenta-se a extensão da mola de $$\Delta x=3,5$$ $$cm$$, e a razão citada previamente torna-se então $$n_2=3$$. Determine o comprimento de equilíbrio da mola $$l_0$$ e as extensões $$\Delta l_1$$ e $$\Delta l_2$$ (sendo a última a distensão da mola após a extensão adicional $$\Delta x$$).
Figura 1: Oscilação longitudinal à esquerda e oscilação transversal à direita.
Avançado
Propagação de ondas em molas
Parte 1: O básico
Mostre que a velocidade de propagação de uma onda longitudinal em uma mola (slinky) com densidade linear de massa $$\mu$$, comprimento $$l$$ e constante elástica $$k$$ vale $$\sqrt{\dfrac{kl}{\mu}}$$.
Parte 2: Massa-mola diferenciado
A extremidade esquerda de uma massa $$m$$ está conectada a uma parede por meio de uma mola de massa desprezível (mola 1) de constante elástica $$s$$. Já a extremidade direita da massa está conectada a uma mola muito longa (mola 2). A mola 2 possui massa por unidade de comprimento $$\mu$$ e o valor de sua constante elástica multiplicado pelo seu comprimento é $$\kappa$$. Negligencie a gravidade e presuma que o solo não é rugoso neste problema. Inicialmente, ambas as molas encontram-se em seus respectivos comprimentos de equilíbrio. Em $$t = 0$$, a massa recebe uma velocidade inicial $$v_0$$ para a direita, gerando uma onda longitudinal na mola 2 que viaja para a direita.
Figura 2: Imagem para o problema avançado.
(a) Mostre que a equação de movimento da massa é dada por
$$m\dfrac{d^2 \chi}{dt^2}+\gamma\dfrac{d \chi}{dt}+s\chi=0$$
onde $$\chi$$ é o deslocamento da massa (considere o sentido positivo para a direita). Determine a constante $$\gamma$$.
(b) Resolva para $$\chi(t)$$ no regime $$4ms> \kappa \mu$$ usando as condições iniciais fornecidas.
(c) Encontre a função de onda $$\psi (x, t)$$, onde $$x = 0$$ significa a posição de equilíbrio da massa. Observe que $$x$$ aqui se refere à coordenada de equilíbrio de uma seção da mola 2 e $$\psi (x, t)$$ representa seu deslocamento do equilíbrio no tempo $$t$$.
OBS: Se $$\psi=\psi(x,t)$$ é uma função de onda geral do tipo $$\psi(x,t)=f(x-vt)$$, vale que $$\dfrac{\partial \psi}{\partial x}=-\dfrac{1}{v}\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$$.
(d) A função de onda em (c) só é válida para $$x < \beta t$$. Encontre a constante $$\beta$$ e explique por que isso acontece.