Física – semana 174

Escrito por Gustavo Globig Farina

Iniciante

Questão: Um breve aquecimento perigoso

Hoje nós iremos conhecer o prezado físico teórico Doutor Felipe Calves. Contudo, ele tem altíssimas medidas para aceitar estudantes em suas aulas e experimentos, e este é o teste que ele irá lhe passar para você pode seguir nessa lista de exercícios. Portanto, dê seu melhor, para não chatear o Doutor Felipe Calves; você definitivamente NÃO quer chatear ele, pois as consequências podem ser graves…

Para aquecimento, você deverá resolver algumas questões de análise dimensional.

(a) Você já deve saber que o trabalho é igual à variação de energia. Verifique se a fórmula desse teorema está correta por análise dimensional:

$F \cdot d = E$

(b) De maneira semelhante, verifique também com análise dimensional a relação entre o momento e o impulso, na fórmula abaixo, onde $P$ representa o momento:

$I = F \cdot t = M \cdot v = P$

(c) Por fim, aqui vai uma questão mais desafiadora; o Doutor Felipe Calves ficou satisfeito com suas análises anteriores, mas agora ele quer ver se você também tem a capacidade de criar algo novo! Então ele te tranca numa sala escura e apenas te dá os seguintes itens: uma caneta azul, um papel, uma luminária com uma tosca luz amarelada e algumas poucas informações:

“Você é informado que a velocidade de um grão de milho dentro de uma panela depende de sua massa $m$ , sua temperatura $T$ , a constante de Boltzmann $k$ , e a área da panela $S$ . Logo, a velocidade do milho é proporcional a que expressão física?”

Dica:

$[k] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}^2 \cdot \text{K}}$

Este é o valor da constante de Boltzmann nas suas unidades.

Resolva a questão se quiser fazer o resto da lista… e sobreviver.

Intermediário

Questão: É sempre do mesmo jeito…!

Doutor Felipe Calves, nosso entusiasmado físico teórico, muito interessado em lançamentos de projéteis, resolve que quer analisar o comportamento cinemático de lançamentos com aceleração constante. Ele resolveu levando em conta a resistência do ar, mas nós faremos cálculos muito mais simples, desconsiderando a resistência do ar! Fique ligado, pois as contas só vão ficar feias no final, basta ideias boas!

Uma pequena esfera de massa m e carga q é lançada sobre a influência de um campo gravitacional g (como usual) e um campo elétrico E inclinado, cuja direção e sentido estão visíveis no esquema abaixo. Iremos analisar a trajetória de um lançamento com velocidade inicial v₀ com um ângulo θ em relação ao horizonte.

a) Inicialmente, vamos ignorar o campo elétrico. Levando em consideração apenas o campo gravitacional, encontre uma relação entre y e x (será uma parábola), em função de θ, q, g e v₀.

b) Agora, leve em consideração o campo elétrico E. Encontre x e y cada um em função do tempo t (desde o lançamento), g, E, q, θ e v₀.

c) É possível que a esfera volte a passar novamente pelo ponto de seu próprio lançamento? Faça um esboço das possíveis trajetórias e, se ela puder passar novamente pelo seu ponto de lançamento, neste caso obtenha a relação que deve ser respeitada entre as variáveis g, E, θ, q e v₀.

d) Encontre a posição do vértice (y, x) da trajetória. Dica: transforme as coordenadas para deixar o problema mais simples e voltar para o caso do item (a); então, retorne para as coordenadas iniciais!

Avançado

Questão: Os cabelos de Felipe Calves

Após terminar de resolver a questão anterior com resistência do ar, Doutor Felipe Calves vai pentear seus belos cabelos lisos com um pente, mas percebe que está com caspas. Pensando nisso, considerando a força de sua mão sempre de mesma magnitude, ele se perguntou em qual inclinação forçar o pente de forma que as caspas caiam o mais rápido possível. Analisando essa situação, ele tentou modelar fisicamente, todavia, sendo um físico teórico demais, seu modelo ficou bem estranho, assumindo várias coisas por mera simplicidade.

Considerando o pente como se fosse uma cunha e as caspas como se fossem blocos em cima da cunha, e considerando o seu crânio como o piso, podemos tentar modelar com o esquema equivalente abaixo.

Informações: o coeficiente de atrito entre a cunha e o piso é μ, e o coeficiente de atrito entre a cunha e o bloco também é μ; a massa da cunha é M e sua hipotenusa mede D, e a massa do bloco é m; seja F uma força aplicada na cunha (cujo ângulo de abertura é α)da direita para a esquerda, necessariamente, cuja inclinação em relação ao horizonte é θ. Agora, obtenha:

(a) Encontre o tempo de queda da caspa (do bloco) em função das variáveis dadas.

(b) Encontre o ângulo θ que leva à queda mais rápida possível. Faça uma breve explicação de porque esse resultado seria esperado.

Observação: não se preocupe se a cunha de fato irá se mover (isto é, se F supera o atrito estático máximo, e que F é menor que o peso da cunha). Apenas considere que F e θ são tais de forma que ela irá se mover no mesmo sentido da componente horizontal da força aplicada pelo Doutor Felipe Calves.

Extra (para SOIF)

Questão: O balde de Felipe Calves

Após retirar todas as caspas de seu cabelo, Doutor Felipe Calves os colocou num recipiente cilíndrico e resolveu, com seu ativo instinto de físico teórico, realizar experimentos físicos! Contudo, um pequeno problema tornou tudo mais interessante: há um buraco no recipiente, então suas caspas vazam e alteram as características do movimento do recipiente.

Começando no tempo 0, considere que o recipiente não tem massa e contém uma massa inicial $M$ de caspas. O recipiente é conectado á parede por uma corda de massa desprezível com tensão constante $T$ (ou seja, não depende do comprimento). O recipiente desliza sem atrito sobre o solo, e a distância inicial à parede é $L$ . Alguns tempo depois, seja $x$ a distância da parede e $m$ a massa de caspas (no instante) que ainda está no recipiente. O recipiente é solto e vai diretamente à parede.

Para o 1º caso, considere que ele solta caspas na taxa $dm/dx = M/L$ ; ou seja, a taxa é constante com a distância, e considere que o recipiente acaba vazio no instante em que atinge a parede. Note que $dx$ é negativo, logo $dm$ também é.

(a) Qual é a energia cinética da areia no recipiente em função de x? Qual é seu valor máximo?

(b) Qual é a magnitude do momento da areia em função de x? Qual é seu valor máximo?

Agora, iremos considerar que na realidade a areia vaza numa taxa definida por, a qual será constante com o tempo, e não com a distância $dm/dt = -bM$ .

(d) Qual é a energia cinética máxima adquirida, supondo que seja em instante antes de colidir com a parede?

(e) Qual é o momento máximo adquirido, também assumindo que seja antes de colidir com a parede?

(f) Para qual valor de $b$ o recipiente torna-se vazio no exato instante em que colide com a parede?

Pergunta extra: quanto tempo será que o Doutor Felipe Calves vai levar para limpar toda essa bagunça…?