Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Vamos chamar de Z o lado oposto ao vértice z e de X e Y os lados opostos à x e y respectivamente. Usando Pitágoras:
$$! X^2 + Z^2 = Y^2 \rightarrow X^2 + Z^2 = 25$$
Agora usando o fato dos tempos da luz percorrendo os percursos serem iguais:
$$! \frac{X}{\frac{c}{n_b}} + \frac{Z}{\frac{c}{n_b}} = \frac{Y}{\frac{c}{n_a}}\rightarrow X \cdot n_b + Z \cdot n_b = Y \cdot n_a \rightarrow X \cdot n + Z \cdot n = 5$$
Onde temos n = $$\frac{n_{b}}{n_{a}}$$. Elevando a segunda equação ao quadrado e subtraindo a primeira dela:
$$! (n^2-1)(X^2 + Z^2) + 2XZn^2 = 0 \rightarrow 2XZn^2 = 25(1 – n^2) \rightarrow XZ = 12.5(n^{-2} – 1)$$
Agora basta resolvermos a equação de segundo grau que têm X e Z como raízes:
$$! x^2 – \frac{5x}{n} + 12.5(n^{-2} – 1) = 0 \Rightarrow n^2x^2 – 5nx + 12.5(1 – n^2) = 0$$
Calculando o $\Delta$:
$$!\Delta = 25n^2 – 50n^2(1 – n^2) = 25n^2(2n^2 – 1)$$
Terminando:
$$! {X, \ Z} = {\frac{5(1 – \sqrt{2n^2 – 1})}{2n}, \ \frac{5(1 + \sqrt{2n^2 – 1})}{2n}}$$
Intermediário (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ A única força que age no disco é a tração da corda e ela é sempre perpendicular à velocidade do disco, ou seja, não realiza trabalho, fazendo com que a velocidade do disco seja sempre constante e igual a $$v_0$$
$$ii)$$ Suponha que, em um tempo $$t$$, a corda esteja enrolada de um ângulo $$\theta$$ e um comprimento $$x = R \theta$$.
$$iii)$$ Considere agora um tempo $$t + \mathrm{d}t$$, neste tempo, a corda se moveu uma distância $$v_0 \mathrm{d}t$$. Analizando a figura, vemos que a mesma distância percorrida é dada por $$(l_0 – x) \mathrm{d}\theta$$. Igualando as duas, temos:
$$!v_0 \mathrm{d}t = (lo – x) \mathrm{d}\theta = \frac{l_0 – x}{R} \mathrm{d}x$$
$$!\Rightarrow \int_0^T \! v_0 \, \mathrm{d}t = \int_0^{l_0} \! \frac{l_0 – x}{R} \, \mathrm{d}x$$
$$!\Rightarrow T = \frac{l_0^2}{2 v_0 R}$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
Chame de $$F$$ a tração na corda. O ângulo (na massa) entre a corda e a circunferência pontilhada é $$\theta = \sin^{-1}(\frac{r}{R})$$. Em termos de $$\theta$$, as equações $$F = m a$$ radiais e tangenciais são:
$$F \cos{\theta} = \frac{m v^2}{R}$$, e
$$!F \sin{\theta} = m \dot{v}$$
Resolvendo para $$F$$ na segunda e substituindo na primeira, encontramos:
$$!\frac{m \dot{v} \cos{\theta}}{\sin{\theta}} = \frac{m v^2}{R}$$
Separando variáveis e integrando, temos:
$$!\int_{v_0}^v \, \frac{\mathrm{d}v}{v^2} = \frac{\tan{\theta}}{R} \int_0^t \, \mathrm{d}t$$
$$!\Rightarrow \frac{1}{v_0} – \frac{1}{c} = \frac{\tan{\theta}}{R} t$$
$$!\Rightarrow v = (\frac{1}{v_0} – \frac{\tan{\theta}}{R} t)^{-1}$$
Note que $$v$$ torna-se infinito quando
$$!t = T \equiv \frac{R}{v_0 \tan{\theta}}$$
Em outras palavras, você pode mantar a massa se movendo no círculo desejado só até um certo tempo $$T$$. Depois disso, é impossível.
A distância total percorrida, $$d = \int \! v \, \mathrm{d}t$$, é infinita, porque a integral diverge quando $$t$$ se aproxima de $$T$$.
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