Matemática – Semana 16

Problema Iniciante

Sejam $a,b,c$ três números inteiros positivos. Prove que é impossível termos $a^2+b+c,b^2+c+a$ e $c^2+a+b$ iguais a quadrados perfeitos ao mesmo tempo.

Problema Intermediário

Um aluno tem, escrito em um quadro, os números inteiros de $1$ a $n$. Ele pode fazer a seguinte operação quantas vezes quiser: pegar dois números escritos no quadro $a$ e $b$, apagá-los e escrever no quadro o $mdc$ e o $mmc$ desses números. Prove que, não importando como o aluno faça suas operações, a qualquer momento a soma dos números escritos no quadro sempre será maior do que $n\times (n!)^{\frac{1}{n}}$

Dica: Esse problema parece mais difícil do que realmente é.

Problema Avançado

Sejam $x,y$ e $z$ números reais positivos. Prove que $x^2+xy^2+xyz^2\ge 4xyz-4$