Iniciante
Podemos fatorar a expressão $$x^2 -(r+s)x+rs$$ como $$(x-r)(x-s)$$ e ficamos com $$(r-s(x-s)=2010$$. Fazendo $$a=r-x$$ e $$b=x-s$$, devemos achar os possíveis valores de $$|a+b|=|r-s|$$, sabendo que $$a$$ e $$b$$ tem a mesma paridade e que $$ab=2010$$. Podemos supor sem perda de generalidade $$a$$ e $$b$$ inteiros positivos e assim temos $$16$$ possíveis pares $$(a,b)$$:
$$(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),(10,201),(15,134),(30,67)$$ e as duplas invertidas
Tais duplas gerarão todas as $$8$$ possibilidades de $$|r-s|$$. Agora é só testar.
Intermediário
Não podemos esquecer a importante fatoração $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$. Usando isso no problema dado temos
$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=1 \Longrightarrow (a+b)[(a+b)^2-3ab]=1 \Longrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)=1$$ $$(1)$$
Também temos $$(a+b)(a+1)(b+1)=2 \Longrightarrow (a+b)(ab+a+b+1)=2 \Longrightarrow (a+b)ab+(a+b)^2+(a+b)=2$$ $$(2)$$
Interessante, agora fizemos surgir o fator $$(a+b)$$ nas duas equações, que provavelmente é um bom sinal, mas esses fatores $$(a+b)ab$$ são um pouco incovenientes, então iremos retirá-los. Para tanto, devemos multiplicar a equação $$(2)$$ por $$3$$ para que apareça $$3ab(a+b)$$ e assim ficamos com $$3ab(a+b)+3(a+b)^2+3(a+b)=6$$ $$(3)$$
Por fim, somando $$(1)$$ e $$(3)$$ temos que $$(a+b)^3+3(a+b)^2+3(a+b) =7 \Longrightarrow (a+b+1)^3-1=7\Longrightarrow (a+b+1)^3 =8\Longrightarrow a+b+1=2\Longrightarrow a+b=1$$ e assim concluímos o problema.
Avançado
Para provar esse clássico resultado usaremos a notação $$[ABC]$$ para a área de um triangulo qualquer $$ABC$$. façamos primeiro a ida, ou seja, supomos que as três cevianas concorrem num ponto $$O$$ e daí concluímos a relação do enunciado.
Usaremos o tempo todo o famoso método K, que afirma que as áreas de dois triângulos de mesma altura são proporcionais às medidas de suas bases. Assim, na figura dada:
$$\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{[AFC]}{[BFC]}=\dfrac{[AFO]}{[BFO]} \Longrightarrow\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{[AFC]}{[BFC]}- \dfrac{[AFO]}{[BFO]}=\dfrac{[AOC]}{[BOC]}$$.
A partir daí obtemos resultados análogos para as outras frações $$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{[AOB]}{[AOC]}$$ e $$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{[COB]}{[AOB]}$$. por fim multiplicamos tudo e vemos que todas as áreas irão se cancelar deixando como resultado:
$$\dfrac{AF}{BF}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$$ Como queríamos!
Para provar a volta usaremos a ida. Suponha que os três pontos $$D,E,F$$ satisfazem a relação do enunciado, mas as cevianas $$AD,BE$$ e $$CF$$ não concorrem. Seja O a interseção de $$BE$$ e $$CF$$ e seja $$D’$$ a interseção de $$AO$$ com o lado $$BC$$. Do que provamos logo acima, temos que $$\dfrac{AF}{BF}\cdot\dfrac{BD’}{D’C}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$$
Juntando essa informação com a que assumimos no inicio de que $$\dfrac{AF}{BF}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$$ obtemos que $$\dfrac{BD’}{D’C}=\dfrac{BD}{DC}$$ e como $$D’$$ e $$D$$ estão no interior do lado AC só podemos ter $$D=D’$$ que implica que $$AD,BE$$ e $$CF$$ concorrem em $$O$$ que contradiz o que assumimos no início. Logo, o que supomos no início é falsoe a relação dada no enunciado de fato implica que $$AD,BE$$ e $$CF$$ concorrem, como queríamos demonstrar.
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