NOIC – Matemática – Semana 34

INICIANTE:

Se $$a,b,c$$ são números reais tais que $$a^2+b^2+c^2=1$$, prove que:

$$- \dfrac{1}{2} \le ab + bc + ca \le 1$$

INTERMEDIÁRIO:

Para todo inteiro positivo $$n$$, prove que $$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+ ... +\dfrac{1}{n} \ge \dfrac{1}{2} (log_2 (n+1) )$$.

AVANÇADO
 
 Encontre todas as funções  $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ tais que
 
 $$f(x+y)+y\le f(f(f(x)))$$
 
 Para todos $$x,y$$