Semana 27 – Soluções Matemática

Já que $mdc(a,a^n-1)=1$, pelo teorema de Euler-Fermat temos que $a^{\phi(a^n-1)}\equiv 1 \pmod{a^n-1}$; por outro lado, $n$ é a ordem de $a$ módulo $a^n-1$ já que $a^n\equiv1\pmod{a^n-1}$ e se $0<t<n$ temos $0<a^t-1<a^n-1$ e assim $a^n-1$ não divide $a^t-1$. Como $a^j\equiv1\pmod{m} \Rightarrow ord_m a|j$ temos portanto $n|\phi(a^n-1)$.

Comece notando que $mdc(n!,n!+1)=1\Rightarrow f(n)=mdc((n+1)!,n!+1)=mdc(n+1,<wbr />n!+1)$. Se $n+1=p$ primo, então pelo Teorema de Wilson temos $n!\equiv(p-1)!\equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow n+1|n!+1\Rightarrow f(n)=n+1$. Se $n+1$ não é primo, então para cada fator primo $q$ de $n+1$, teremos $q<n+1$ $\Rightarrow q\le n \Rightarrow q|n$!. Com isso, podemos concluir que nesse caso $f(n)=1$.

Observe que:

$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2} + \dfrac{2}{a_n} = \dfrac{a_n^2+4}{2a_n}$ $\Rightarrow a_{n+1}\pm 2=\dfrac{a_n^2\pm 4a_{n}+4}{2a_{n}}=\dfrac{(a_{n} \pm 2)^2}{2a_n}$

Assim, temos que:

$\dfrac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}-2}=(\dfrac{a_n+2}{a_n-2})^2$ para todo $n\ge1$.

Assim, é fácil ver que, por indução:

$\dfrac{a_n+2}{a_n-2}=(\dfrac{a_1+2}{a_1-2})^{2^{n-1}}=(\dfrac{4+2}{4-2})^{2^{n-1}} = 3^{2^{n-1}}$

Com isso, concluímos que:

$a_n=2(\dfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1})$ para todo $n\ge 1$.