Semana 39 (03 de abril de 2018)

Iniciante

Prove que se $a,b$ são inteiros primos entre si, então $a^{2}+ab+b^{2}$ não possui nenhum fator primo da forma $3k+2$.

Intermediário

Se $u+v=u^{100}+v^{100}=u^{200}+v^{200}$ com $u,v$ reais, ache o produto $uv$.

Avançado

Dado um ponto $P$ no interior do triângulo $ABC$ de área $S$, deixe $K$ ser a área de seu triângulo pedal. Prove que

$\frac{K}{S} = \frac{\text{|Pot}_{(ABC)}P|}{4R^{2}_{(ABC)}}$.