Iniciante
Prove que se $$a,b$$ são inteiros primos entre si, então $$a^{2}+ab+b^{2}$$ não possui nenhum fator primo da forma $$3k+2$$.
Intermediário
Se $$u+v=u^{100}+v^{100}=u^{200}+v^{200}$$ com $$u,v$$ reais, ache o produto $$uv$$.
Avançado
Dado um ponto $$P$$ no interior do triângulo $$ABC$$ de área $$S$$, deixe $$K$$ ser a área de seu triângulo pedal. Prove que
$$\frac{K}{S} = \frac{\text{|Pot}_{(ABC)}P|}{4R^{2}_{(ABC)}}$$.