Semana 45 (16 de abril de 2019)

Iniciante

Temos $$2019$$ bolinhas ao redor de uma grande circunferência. Algumas delas são azuis e todas as outras são vermelhas. Prove que sempre há duas bolinhas consecutivas que possuem a mesma cor.

Intermediário

Definimos um T-quadriminó como uma peça formada por $$4$$ quadradinhos em forma de T. Prove que não é possível cobrir completamente e sem sobreposições um tabuleiro $$10×10$$ com T-quadriminós.

Avançado

Determine todas as funções $$f$$ dos reais positivos nos reais positivos satisfazendo para todos $$x$$ reais positivos as duas seguintes equações:

$$(1) f(f(x))=2x-f(x)$$

$$(2) f^{(2019)}(x)=x$$

onde $$f^{(2019)}(x)=f(f(…f(x)…))$$, ou seja, $$f$$ aplicada $$2019$$ vezes.