SEMANA 54 (18 DE JUNHO DE 2019)

Iniciante

Prove que se $s(x)$ é a soma dos dígitos de um inteiro positivo $x$, então $s(x+y) \le s(x) +s(y)$ para todo par $x,y$ de inteiros positivos..

Intermediário

Prove que existem ao menos $500$ inteiros $a$ no conjunto $\{ 1,2,...,2012 \}$ tais que a equação

$(m^2 +n)(n^2 +m) = a(m+n)^3$

possui solução $(m,n)$ nos inteiros positivos.

Avançado

Sejam $a_1 , a_2 ,..., a_{2019}$ e $b_1 , b_2 ,..., b_{2019}$ números complexos tais que para todo $1 \le k \le 2019$, vale a igualdade

$a_1 ^k +a_2 ^k +...+ a_{2019} ^k =b_1 ^k +b_2 ^k +...+ b_{2019} ^k$

Prove que $b_1 , b_2 ,..., b_{2019}$ é uma permutação de $a_1 , a_2 ,..., a_{2019}$.