Iniciante
Prove que se $$s(x)$$ é a soma dos dígitos de um inteiro positivo $$x$$, então $$s(x+y) \le s(x) +s(y) $$ para todo par $$x,y$$ de inteiros positivos..
Intermediário
Prove que existem ao menos $$500$$ inteiros $$a$$ no conjunto $$ \{ 1,2,…,2012 \}$$ tais que a equação
$$(m^2 +n)(n^2 +m) = a(m+n)^3 $$
possui solução $$(m,n)$$ nos inteiros positivos.
Avançado
Sejam $$a_1 , a_2 ,…, a_{2019}$$ e $$b_1 , b_2 ,…, b_{2019}$$ números complexos tais que para todo $$ 1 \le k \le 2019$$, vale a igualdade
$$a_1 ^k +a_2 ^k +…+ a_{2019} ^k =b_1 ^k +b_2 ^k +…+ b_{2019} ^k $$
Prove que $$b_1 , b_2 ,…, b_{2019}$$ é uma permutação de $$a_1 , a_2 ,…, a_{2019}$$.