SEMANA 58 MATEMÁTICA

Iniciante

Ache o maior inteiro positivo $$d$$ com a seguinte propriedade: Se $$p>3$$ é um número primo, então $$d$$ divide $$p^2-1$$

Intermediário

Seja $$ABCD$$ um paralelogramo. Prove que $$AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$$.

Avançado

Dado um inteiro positivo $$k$$, prove que existe um polinômio $$P$$ de coeficientes racionais com

$$1^k+2^k+…+n^k = P(n) $$

para todo $$n$$ inteiro positivo.