SEMANA 64 MATEMÁTICA

Iniciante

Tome um grupo de pessoas onde cada pessoa aponta para exatamente uma outra diferente. Prove que é possível encontrar um ciclo de pessoas, onde cada pessoa aponta para a seguinte.

Intermediário

Prove que existe um polinômio $$p(x)$$ tal que o seu coeficiente líder é $$ 1/2^{2020} $$ e $$p(x)$$ é inteiro para todo $$x$$ inteiro.

Avançado

Seja $$ABCD$$ um paralelogramo e $$k$$ o círculo de diâmetro $$AC$$. As semirretas $$CB$$ e$$CD$$ encontram $$k$$ em $$E$$,$$F$$. Prove que se $$EF \cap BD = T$$, então $$TA$$ é tangente a $$k$$.