Solução Cálculo – Semana 27

Iniciante

A função f é definida em $x=1$, já que $f(1) = 2$.
O limite $\displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) = \lim_{ x \to 1 } (3x-5) }=-2$
Logo, $\displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) = -2 }$
Mas $\displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) \ne f(1) }$, ou seja, as condições de continuidade não são satisfeitas e a função f não é cont\’inua em $x=1$.

Intermediário

$\displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} (4i+1) } =\displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} 4i + \sum_{i=15}^{150} 1 }$
$= \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=15}^{150} i \Big) + \sum_{i=15}^{150} 1 }$
Observe que cada soma começa com $i=15$.
$= \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=1}^{150} i - \sum_{i=1}^{14} i \Big) + \Big( \sum_{i=1}^{150} 1 - \sum_{i=1}^{14} 1 \Big) }$
$= \displaystyle{ 4 \Big( { 150(150+1) \over 2 } - { 14(14+1) \over 2 } \Big) + ( (1)(150) - (1)(14) ) }$
$= 4(11325 - 105) + (136)= 45016$

Avançado

Comece com $y = (3x^2+5)^{1/x}$. Aplique logaritmo natural aos dois lados da equação, tendo:
$\ln y = \ln (3x^2+5)^{1/x}$
$= \displaystyle{ \ln (3x^2+5) \over x }$
Derive os dois lados da equação
$\ln y = \displaystyle{ \ln (3x^2+5) \over x }$
Tendo-se
$\displaystyle{ { 1 \over y } } y' = \displaystyle{ x \Big\{ \displaystyle{ 1 \over 3x^2+5 } \Big\} (6x) - \ln(3x^2+5) (1) \over x^2 }$
$= \displaystyle{ \displaystyle{ 6x^2 \over 3x^2+5 } - \ln(3x^2+5) \Big\{ \displaystyle{ 3x^2+5 \over 3x^2+5 } \Big\} \over \displaystyle{ x^2 \over 1 } }$
$= \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over 3x^2+5 } \displaystyle{ 1 \over x^2 }$
$= \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5) }$
$y' = y \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5) }$
$= (3x^2+5)^{1/x} \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5)}$