Solução Cálculo – Semana 27

Iniciante

A função f é definida em $$x=1$$, já que $$f(1) = 2$$.
O limite $$ \displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) = \lim_{ x \to 1 } (3x-5) }=-2$$
Logo, $$ \displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) = -2 } $$
Mas $$ \displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) \ne f(1) } $$, ou seja, as condições de continuidade não são satisfeitas e a função f não é cont\’inua em $$x=1$$.

Intermediário

$$ \displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} (4i+1) } =\displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} 4i + \sum_{i=15}^{150} 1 } $$
$$ = \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=15}^{150} i \Big) + \sum_{i=15}^{150} 1 } $$
Observe que cada soma começa com $$i=15$$.
$$ = \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=1}^{150} i – \sum_{i=1}^{14} i \Big) + \Big( \sum_{i=1}^{150} 1 – \sum_{i=1}^{14} 1 \Big) } $$
$$ = \displaystyle{ 4 \Big( { 150(150+1) \over 2 } – { 14(14+1) \over 2 } \Big) + ( (1)(150) – (1)(14) ) } $$
$$= 4(11325 – 105) + (136)= 45016$$

Avançado

Comece com $$y = (3x^2+5)^{1/x}$$. Aplique logaritmo natural aos dois lados da equação, tendo:
$$ \ln y = \ln (3x^2+5)^{1/x} $$
$$ = \displaystyle{ \ln (3x^2+5) \over x } $$
Derive os dois lados da equação
$$ \ln y = \displaystyle{ \ln (3x^2+5) \over x } $$
Tendo-se
$$ \displaystyle{ { 1 \over y } } y’ = \displaystyle{ x \Big\{ \displaystyle{ 1 \over 3x^2+5 } \Big\} (6x) – \ln(3x^2+5) (1) \over x^2 } $$
$$ = \displaystyle{ \displaystyle{ 6x^2 \over 3x^2+5 } – \ln(3x^2+5) \Big\{ \displaystyle{ 3x^2+5 \over 3x^2+5 } \Big\} \over \displaystyle{ x^2 \over 1 } } $$
$$ = \displaystyle{ 6x^2 – (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over 3x^2+5 } \displaystyle{ 1 \over x^2 } $$
$$ = \displaystyle{ 6x^2 – (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5) } $$
$$ y’ = y \displaystyle{ 6x^2 – (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5) } $$
$$ = (3x^2+5)^{1/x} \displaystyle{ 6x^2 – (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5)} $$