Solução – Problemas da Semana 173

Mecânica

A constante elástica equivalente $k_{eq}$ pode ser descoberta ao analisar o deslocamento total da mola e usando a lei de Hooke. Por fim, sabendo que a tensão na mola é constante (caso assim não fosse, alguma parte da associação possuiria aceleração infinita, pois a massa das molas é desprezível), temos:

$x_{eq} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{F}{k} = \frac{nF}{k} \Rightarrow k_{eq} = \frac{k}{n}$

Como a gravidade não afeta a frequência de oscilação, é um resultado conhecido que:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$

Portanto:

$\boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{nm}{k}}}$

$\boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{nm}{k}}}$

Termodinâmmica

Pela lei dos gases ideais:

$n_{A} = \frac{4P \cdot 2V}{R \cdot 2T} = 4\frac{P V}{R T}$ e $n_{B} = \frac{9P \cdot 3V}{R \cdot 3T}= 9\frac{P V}{R T}$

Pela conservação da energia e do número de partículas:

$U_{total} = U_{A} + U_{B} \Rightarrow \frac{3}{2} (n _{A}+ n_{B})R \cdot T_{f} = \frac{3}{2} n_{A} R \cdot (2T) + \frac{3}{2} n_{B} R \cdot (3T)$

Portanto:

$\boxed{T_{f} = \frac{35}{13}T}$

$\boxed{T_{f} = \frac{35}{13}T}$

Dinâmica rotacional

(a)  Seja $\alpha$ a aceleração angular em relação a B. Então, a expressão para o torque em relação a B (esse ponto não está acelerado nesse momento), temos:

$\tau = I \alpha \Rightarrow Mg \frac{l}{2} = \frac{M l^2}{3} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{3}{2} \frac{g}{l}$

Portanto, sabemos, pelos vínculos geométricos, que:

$a_{A} = \alpha l \Rightarrow \boxed{a_{A} = \frac{3}{2} g}$

(b) Seja N_{B} a força de contato no ponto B e a_{cm} a aceleração do centro de massa.

Primeiramente, é evidente que $a_{cm} = \alpha \frac{l}{2}$. Portanto, aplicando a segunda lei de newton no livro, temos:

$Mg - N_{B} = Ma_{cm} \Rightarrow \boxed{N_{B}= \frac{Mg}{4}}$

$(a) \, \, \boxed{a_{A} = \frac{3}{2} g}$

$(b) \, \, \boxed{N_{B}= \frac{Mg}{4}}$