Solução – Problemas da Semana 175

Hidrostática e Cinemática

A força resultante na esfera submersa será:

$F=F_{\text{empuxo}}-F_{\text{peso}}=(\rho_0-\rho)gV=\rho gVa$
$\therefore a = g\left(\dfrac{\rho_0-\rho}{\rho}\right)$

Sendo $v_{\text{superf}}$ a velocidade da esfera na superfície do líquido, note que $v_{\text{superf}}=\sqrt{2aH}$ e $t_{\text{superf}}=\sqrt{\dfrac{2H}{a}}$. Adicionando o tempo para parar a esfera:

$v_{superf}=g(t_{\text{total}}-t_{\text{superf}})$
$\therefore{t_{\text{total}} = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\left(\sqrt{\dfrac{\rho_0-\rho}{\rho}}+\sqrt{\dfrac{\rho}{\rho_0-\rho}}\right)}$

Simplificando:

$\boxed{t_{total}=\dfrac{\rho_0}{\sqrt{\rho(\rho_0-\rho)}}\sqrt{\dfrac{2H}{g}}}$

$\boxed{t_{total}=\dfrac{\rho_0}{\sqrt{\rho(\rho_0-\rho)}}\sqrt{\dfrac{2H}{g}}}$

Estática

Usando o equilíbrio de torques em relação ao centro, $T=F_{\text{at}}$.
Pelo Teorema das três forças, $\vec{N}$, $\vec{P}$ e $\vec{T}+\vec{F}_{\text{at}}$ formam um triângulo, como mostrado na figura abaixo:

Pela lei dos senos:

$\dfrac{\sin(\alpha)}{|\vec{T}+\vec{F}_{\text{at}}|}=\dfrac{\sin\left(90^\circ-\alpha+\dfrac{\alpha}{2}\right)}{N}=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}{N}$
Realizando a soma vetorial, $|\vec{T}+\vec{F}_{\text{at}}|=2F_\text{at}\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$
$\therefore \dfrac{\sin(\alpha)}{2F_{\text{at}}\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}{N}\implies \mu\geq\dfrac{F_{\text{at}}}{N}=\dfrac{\sin(\alpha)}{2\cos^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}$
$\therefore\boxed{\mu\geq\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}$

$\boxed{\mu\geq\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}$

Circuitos

a) Sejam $A_N$, $B_N$ e $C_N$ os vértices nas extremidades do $N$-ésimo triângulo. Pode-se transformar esse triângulo em uma estrela de resistores com resistência $\dfrac{R_N}{2}$. Assim, a construção do $(N+1)$-ésimo triângulo será:

Como cada resistência é $\dfrac{R_N}{2}$ e formato do novo circuito independe de $N$, pode-se concluir que $R_{N+1}=KR_N$, em que $K$ é uma constante independente de $N$. Assim, $R_N$ é uma função exponencial.
b) Pelo item anterior, $R_N=CK^N$ para constantes $C$ e $K$. É possível encontrar $C$ rapidamente ao notar que $R_0=\dfrac{2}{3}\; \rm{\Omega}$. Para encontrar $K$, é necessário resolver o caso $N=1$. Para isso, conecte uma bateria de voltagem $V$ aos pontos $A$ e $B$. Note que existe um plano de simetria onde o potencial é igual a $V/2$, como mostrado na figura:

Por Kirchhoff:

$\sum I=0\implies \dfrac{V-x}{R}=2\left(\dfrac{x-V/2}{R}\right)+\dfrac{2x-V}{R} \implies x=\dfrac{3V}{5}$

Determinando a corrente que sai de $A$:

$I_A=\dfrac{V-x}{R}+\dfrac{V-V/2}{R}=\dfrac{9V}{10}\implies R_1=\dfrac{10}{9}\; \rm{\Omega}$

Substituindo na expressão geral:

$\dfrac{10}{9}=\dfrac{2}{3}K\implies K=\dfrac{5}{3}$

Logo,

$\boxed{R_N=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^N\rm{\Omega}}$

$\boxed{R_N=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^N\rm{\Omega}}$