Iniciante
A grande presença de dióxido de carbono na composição da atmosfera de Vênus aumenta a ocorrência de um efeito estufa, muito mais forte do que na Terra. Consequentemente, sua temperatura média é a maior entre os planetas do sistema solar.
A temperatura média de um planeta não depende somente de sua proximidade ao Sol, Mercúrio é o planeta mais próximo, porém, não tem atmosfera o bastante para absorver os raios que são refletidos de sua superfície. Sendo assim, os picos de temperatura são altos e portanto variam muito, enquanto em Vênus isso não acontece.
Intermediário
Como o Torque das forças de maré é constante, e o problema pede para desconsiderar outras possíveis forças, podemos escrever o torque resultante como:
$$\tau_{r} = – I \alpha = – \frac{2MR^{2}\alpha}{5} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \alpha = – \frac{5 \tau}{2 M R^{2}}$$
Por causa das forças de maré, a velocidade angular da terra diminui com o passar dos anos, com isso, vem que:
$$\omega = \omega_{o} + \alpha \Delta t \Rightarrow \omega_{o} = \omega – \alpha \Delta t$$
$$\Rightarrow \frac{2\pi}{T^{‘}}=\frac{2\pi}{T}+\frac{5\tau \Delta t}{2MR^{2}} \Rightarrow$$
$$T^{‘} = \frac{1}{\frac{1}{T}+\frac{5 \tau \Delta t}{2 M R^{2}}} \Rightarrow$$
$$T^{‘} = 86025 s$$
Sabendo a duração de um dia, multiplicamos esse tempo por um ano sideral, consequentemente, obtemos quantos dias houveram nesse ano.
$$D = 366,17 dias$$
Avançado
a) Sendo o Volume da estrela Marck-Bis três vezes maior que qualquer uma das estrelas do conjunto Arthurus, escrevemos:
$$3V_{A}=V{B} \Rightarrow 3\frac{4}{3} \pi R_{A}^{3} =\frac{4}{3} \pi R_{B}^{3}$$
$$R_{B} =3^{1/3} R_{A}$$
Calculando a magnitude absoluta da estrela Marck-Bis:
$$m-M=5logd-5\Rightarrow M=m-5logd+5 \Rightarrow M=-7.3mag$$
Agora, comparando com a magnitude absoluta de uma das estrelas do conjunto:
$$M_{A} -M=2.5log \frac{4\pi \sigma R_{A}^{2} T^{4}}{4\pi \sigma R_{A}^{2} T^{4}} \Rightarrow$$
Substituindo os dados da questão, vem:
$$M_{A} =-6.5mag$$
b) Calculando a magnitude aparente de uma estrela qualquer do conjunto:
$$m_{A} -M_{A} =5log100-5 \Rightarrow m_{A} =-1.5mag$$
Comparando a magnitude de duas estrelas com uma, como elas são idênticas, o fluxo é o mesmo:
$$m_{1,2} -m{2}=-2.5log( \frac{F_{1} +F_{2}}{F_{1}}) \Rightarrow m_{1,2}=-2.3mag$$
Agora, basta comparar três estrelas com a terceira (a razão dos fluxos de três com uma, intuitivamente dá 3):
$$m_{1,2,3} -m_{3} =-2.5log(\frac{F_{1} +F_{2} +F_{3}}{F_{3}}) \Rightarrow m_{c} =-2.7mag$$