Iniciante
$$\frac{GMm}{R^{2}}=\frac{GM_{P}m}{R_{P}^{2}}$$
$$\frac{M}{R^{2}}=\frac{M_{P}}{R^{2}}$$
$$M=\frac{R^{2} \cdot 10^{18}}{6}$$
Intermediário
Para isso usaremos a igualdade:
$$\frac{L}{4 \pi R^{2}}=\sigma T^{4}$$
Agora, para achar a razão entre as luminosidades faremos a diferença de magnitudes:
$$5+26,72=2,5 log (\frac{L_{S}}{L_{E}}) + 5 log (105 \cdot 206265)$$
$$\frac{L_{S}}{L_{E}} \approx 10^{-2}$$
Por fim, igualando as constantes na primeira igualdade:
$$\frac{L_{S}}{T_{S}^{4}R_{S}^{2}}=\frac{L_{E}}{T^{4}R^{2}}$$
Daí, resolvendo a matemática:
$$R = R_{S} \cdot 2,25 \cdot 10^{7}$$
Avançado
Usando a equação da força gravitacional para uma massa constante:
$$m \ddot{r} = \frac{-GMm}{r^{2}}$$
$$M(r) = \frac{4 \pi \rho r^{3}}{3}$$
$$ \ddot{r} = \frac{-4G \rho \pi r}{3}$$
$$\rho(t) R^{3}(t) = \rho_{0} R_{0}^{3}$$
$$ \ddot{R} = \frac{-4 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3}}{3R^{2}}$$
$$ \ddot{R} \dot{R} + \frac{4 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3} \dot{R}}{3R^{2}}$$
Sabendo que
$$\frac{d(\dot{R^{2}})}{dt} = 2 \ddot{R} \dot{R}$$
Temos:
$$\frac{d}{dt}(\dot{R^{2}}-\frac{8 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3} \dot{R}}{3R})=0$$
$$\dot{R^{2}}=k + \frac{8 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3} \dot{R}}{3R}$$
Com k=0, substituindo a densidade
$$\frac{\dot{R^{2}}}{2} = \frac{GM}{R}$$