Escrito por Lucas Cavalcante
Iniciante
Condição I : Energia
Primeiramente, para que seja possível hospedar a comunidade biológica no planeta analisado é preciso que sua demanda energética (\(D\)) seja igual à fonte de energia primária de um sistema planetário, ou seja, de sua estrela. Portanto, a potência irradiada pela estrela que chega ao planeta precisa ser igual ou superior à demanda energética da comunidade. Então, a temperatura mínima ocorrerá quando a potência irradiada pela estrela que chega ao planeta é igual à demanda energética:
\[ D = \dfrac{L_e}{4\pi d_p^2}\cdot \pi R_p^2 \]
\[ D = \dfrac{4\pi R_e^2 \sigma T_e^4}{4\pi d_p^2}\cdot \pi R_p^2 \]
\[ T_e = \sqrt{\dfrac{d_p}{R_pR_e}} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{D}{\pi \sigma}} \]
\[ T_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,5 \times 10^{11}}{6,37 \times 10^6 \cdot 2 \cdot 6,96 \times 10^8}} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{\dfrac{1,6 \times 10^{16} \cdot 1000 \cdot 4,2}{60} }{5,67\times 10^{-8}\cdot \pi}} \]
\[\boxed{T_e \approx 9210 \; K}\]
Intermediário
Processo : Formação planetária
Solução I (Sem Cálculo)
Nesse problema, as partículas realizarão um moviemento retilínio com uma aceleração variavél, não sendo possível utilizar as expressões clássicas de cinemática. No entanto, a força atuante no sistema é gravitacional, e ela segue as leis de Kepler, principalmente, a terceira lei de Kepler:
\[ \dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM} \]
Portanto, podemos utilizar a ideia de que o movimento das partículas seguirá uma elipse muito fina tendendo a uma reta, a elipse degenerada.
Entretanto, nessa situação, a distância entre os corpos também variam, o que não corresponde exatamente a uma órbita planetária como a Terra e o Sol, onde se considera o corpo central como imóvel. Para que possua esse problema possua maior semelhança com o caso planetário, pode-se substituir um dos corpos por um objeto imóvel que aplica a mesma força que a presente no sistema original e se encontra na posição final do movimento, que, pela simetria, é no centro da distância entre as partículas, \(d’ = \dfrac{d}{2}\). Para encontrar a massa equivalente desse corpo deve-se igualar as forças:
\[ F’_G = F_G \Rightarrow \dfrac{Gmm_{eq}}{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2} = \dfrac{Gm^2}{d^2} \]
\[ m_{eq} = \dfrac{m}{4} \]
Ainda, é preciso encontrar o semieixo maior da órbita equivalente ao movimento orginal, e esse semieixo será metade da distância inicial entre a párticula analisada e o objeto central, ou seja, \(a = \dfrac{d}{4}\). Então, o período da órbita equivalente será:
\[ \dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{Gm_{eq}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{Gm_{eq}}} \]
\[ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{d}{4}\right)^3}{G\dfrac{m}{4}}} \Rightarrow T = \dfrac{\pi}{4} \sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}} \]
Como, durante seu movimento, a partícula percorrerá apenas metade de sua órbita, o tempo de colisão \(\Delta t\) será:
\[ \Delta t = \dfrac{T}{2} \Rightarrow \boxed{\Delta t = \dfrac{\pi}{4} \sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}}} \]
Solução II (Com cálculo)
Podemos escrever terceira lei de Newtom para uma das partículas:
\[ ma = \dfrac{Gm^2}{r^2} \]
Onde \(r\) é a distância entre os centros das esferas.
Agora, deve-se escrever \(a = \dfrac{dv}{dt}\), e, para tirar a dependência do tempo, multiplica-se os dois lados da equação por \(dr\). Resultando em :
\[ \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{Gm}{r^2} \Rightarrow \dfrac{dr}{dt} dv = \dfrac{Gm}{r^2}dr \]
Então, pelos dois corpos estarem se aproximando com uma velocidade \(v\), a variação de r no tempo, \(\dfrac{dr}{dt}\) será igual a \(-2v\), o sinal negativo indicando que a distância entre os corpos diminui com o tempo. Substituindo esse resultado e resolvendo as integrais, sabendo que \(\int x dx = \dfrac{x^2}{2} + C\) e \(\int \dfrac{dx}{x^2} = – \dfrac{1}{x} + C\) :
\[ 2v dv = -\dfrac{Gm}{r^2} dr \Rightarrow 2 \int_0^v vdv = -Gm\int_d^r \dfrac{1}{r^2} dr \]
\[ v^2 = Gm \left( \dfrac{1}{r} – \dfrac{1}{d} \right) \Rightarrow v = \sqrt{Gm \left( \dfrac{1}{r} – \dfrac{1}{d} \right)} \]
Agora, deve-se substituir o \(dv\) pela relação com o \(dr\), ou seja, \(dv = -\dfrac{dr}{2dt}\) e resolver a integral resultante:
\[ 2\sqrt{Gm}dt = -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{d}}} \]
\[ \int_0^{\Delta t} 2\sqrt{Gm}dt = \int_0^d \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{d}}} \]
Como:
\[ \int \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{a}}} = a^{\dfrac{3}{2}}\left(- \arctan \left( \sqrt{a}\sqrt{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{a}}\right) \right) – ax\sqrt{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{a}} + C \]
A expressão final será:
\[ 2\sqrt{Gm}\Delta t = \dfrac{\pi}{2}d^{\dfrac{3}{2}} \Rightarrow \boxed{\Delta t = \dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}}} \]
Avançado
Condição II : Temperatura
a) Pela lei de Stefan-Boltzmann, temos que a luminosidade de um corpo negro pode ser escrita como:
\[ L = \epsilon A \sigma T^4 \]
Em que \(\epsilon\) é a emissividade da atmosfera, que por ser igual a sua absortividade, será \(\epsilon = \alpha = 1 – A_{atm} – t_{atm}\).
Além disso, como a atmosfera emite tanto na direção do planeta como na direção do espaço é preciso considerar tanto sua área externa quanto a interna no termo de área, resultando em:
\[ L = 2\times 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 (1 – A_{atm} – t_{atm}) \]
\[ L = 8\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 (1 – A_{atm} – t_{atm}) \]
b) No primeiro contato da radiação emitida pelo planeta na atmosfera, parte dessa radiação será absorvida por ela, parte será transmitida e perdida para o espaço sideral, e outra parte sofrerá reflexão, voltando para o planeta, que, novamente, refletirá parte dela para a atmosfera, repetindo esse processo. Então, a radiação absorvida pela atmosfera advinda do planeta será, considerando que a potência emitida pelo planeta será \(P_p = \epsilon 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4 = (1 – A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4\):
\[ P_1 = (1 – A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4(1 – A_{atm} – t_{atm}) + (1 – A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4 A_{atm}A_p(1 – A_{atm} – t_{atm}) + \dots \]
Essa expressão é a soma de uma PG infinita com razão \(A_pA_{atm}\), tendo como resultado:
\[ \boxed{P_1 = \dfrac{(1 – A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4(1 – A_{atm})}{1 – A_{atm}A_p}} \]
c) Primeiramente, é preciso encontrar a potência emitida pela estrela que chega no sistema planeta-atmosfera, que será o fluxo que atinge o sitema multiplicado por sua área transversal:
\[ P_e = \dfrac{L_e}{4\pi d_p^2} \times \pi R_p^2 = \dfrac{L_e R_p^2}{4d_p^2} \]
Agora, deve-se encontrar a parcela da potência que é inicialmente absorvida pela atmosfera:
\[ P_2 = (1 – A_{atm} – t_{atm})P_e \]
\[ \boxed{P_2 = \dfrac{(1 – A_{atm} – t_{atm}) L_e R_p^2}{4d_p^2}} \]
Ainda, para encontrar a potência absorvida pela atmosfera que foi refletida da radiação que se chega ao planeta originada da estrela, deve-se considerar que essa radiação foi transmitida pela atmosfera e refletida pelo planeta, para, então, seguir um processo de infinitas reflexões semelhante à situação do item \textbf{d)}. Portanto, a expressão resultante será:
\[ P’_2 = P_e t_{atm} A_p (1 – A_{atm} – t_{atm}) + P_e t_{atm} A_p^2 A_{atm} (1 – A_{atm} – t_{atm}) + \dots \]
\[ \boxed{P’_2 = \dfrac{L_e R_p^2 t_{atm} A_p (1 – A_{atm} – t_{atm})}{4d_p^2(1 – A_{atm}A_p)}} \]
d) Como o planeta será atingido apenas pela radiação da atmosfera emitida pela sua superfície interna, a energia emitida pela atmosfera que atingirá o planeta será:
\[ P_{atm} = (1 – A_{atm} – t_{atm}) 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 \]
Até atingir a atmosfera, essa potência precisa, primeiro, refletir no planeta. E, então, sequência de infinitas reflexões começará, semelhantemente aos casos anteriores:
\[ P_3 = (1 – A_{atm} – t_{atm})^2 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 A_p + (1 – A_{atm} – t_{atm})^2 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 A_p^2 A_{atm} + \dots \]
\[ \boxed{P_3 = \dfrac{(1 – A_{atm} – t_{atm})^2 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 A_p}{1 – A_{atm}A_p}} \]
No equilíbrio termodinâmico, a potência absorvida por um corpo é igual a potência emitida por ele. Portanto, para a atmosfera :
\[ \boxed{L = P_1 + P_2 + P’_2 + P_3} \]
e) Analogamente ao procedimento feito para a atmosfera:
- Potência emitida : \(L_p = (1 – A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4\)
- Radiação advinda da atmosfera : \(\dfrac{P_a = 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4(1- A_{atm} – t_{atm})(1 – A_p)}{1 – A_pA_{atm}}\)
- Radiação originada na estrela :\(\dfrac{P_b = L_eR_p^2t(1 – A_p)}{4d_p^2(1 – A_{atm}A_p}\)
- Radiação refletida pela atmosfera proveniente do planeta: \(P_c = \dfrac{4\pi R_p^2 \sigma T_p^4 (1 – A_p)^2A_{atm}}{1 – A_{p}A_{atm}}\)
- Equilíbrio termodinâmico do planeta : \( L_p = P_a + P_b + P_c\)
f) Isolando \(T_{atm}\) na expressão do equilíbrio termodinâmico da atmosfera :
\[ T_{atm}^4 = \dfrac{(1 – A_p)T_p^4 + \dfrac{L_e(1 + A_p(t_{atm} – A_{atm})}{16\pi \sigma d_p^2}}{2 + A_p(t_{atm} – A_p – 1)} \]
Por fim, substituindo a expressão de \(T_{atm}\) encontrado na relação do equilíbrio termodinâmico do planeta, resultará em:
\[ \boxed{T_p = \sqrt[4]{\dfrac{L_e}{16\pi \sigma d_p^2}\dfrac{(1 – A_p A_{atm})(1 – A_{atm}) + t_{atm}(1 – A_p^2)}{1 – 3A_{atm} – A_p^2(1 – A_{atm}) + t_{atm}(1-A_pA_{atm})}}} \]