Soluções – Astronomia Semana 111

Escrito por Lucas Cavalcante

Iniciante

O Sol é um ácido ?

Primeiramente, devemos determinar a quantidade de hidrogênio presente atualmente no Sol. Sabemos que a massa do Sol é composta por $70\%$ de hidrogênio. Portanto:

$$N_{H,a} = \dfrac{0,7M_{\odot}}{m_H} \approx 1,4 \cdot 10^{33}$$

onde $m_H$ é a massa de $1$ mol de hidrogênio, equivalente a $1 \; g$. Além disso, a principal reação de fusão que ocorre no interior do Sol é:

$$4 \; ^1\text{H}^+ + 2 \; e^- \rightarrow \; ^4\text{He}^{2+} + 2 \; \nu_e$$

Uma parte da energia emitida por essa reação é convertida em luminosidade. Assim, podemos encontrar uma expressão para o número de reações que ocorrem ($N_r$) ao longo da vida do Sol:

$$L = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$$

$$\Delta E = L\Delta t = N_r \times 0,977 \times 26,73 \cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}$$

$$N_r = \dfrac{L \Delta t}{0,977 \times 26,73 \cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 1,3 \cdot 10^{55}$$

Para cada reação, $4$ mols de hidrogênio são convertidos em hélio. Logo, a quantidade total de hidrogênio ($N_H$) que foi transformada em hélio é:

$$N_H = 4 N_r = 5,32 \cdot 10^{55}$$

Por fim, a quantidade de hidrogênio na formação do Sol, considerando o número atual de hidrogênio e a quantidade perdida durante sua vida, é:

$$N_{H,0} = N_H + N_{H,a} = 5,32 \cdot 10^{55}$$

O pH do Sol na sua formação, definido como $pH = -\log[H^{+}]$, será dado por:

$$pH_0 = -\log\left(\dfrac{N_{H,0}}{V}\right) = -\log\left(\dfrac{N_{H,0}}{\dfrac{4\pi R_{\odot}^3 \times 1000}{3}}\right)$$

$$\boxed{pH_0 \approx -25,58}$$

Intermediário

Observação de Obazs Rotieh

a) Conservando a energia e o momento no processo de decaimento, temos as seguintes expressões:

$$E = E_1 + E_2$$

$$p = p_1 \cos\theta_1 + p_2 \cos\theta_2$$

$$p_1 \sin\theta_1 = p_2 \sin\theta_2$$

Podemos encontrar uma relação entre $\cos\theta_1$ e $\cos\theta_2$ a partir da conservação do momento na vertical:

$$p_1 \sin\theta_1 = p_2 \sin\theta_2 \Rightarrow p_1^2 (1 - \cos^2\theta_1) = p_2^2 (1 - \cos^2\theta_2)$$

$$\cos^2\theta_2 = 1 -\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^2 + \left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^2\cos^2\theta_1$$

Substituindo a expressão obtida e a conservação de energia na conservação do momento na horizontal, sabendo que $E_1 = p_1c$ e que $pc = \sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}$:

$$p = p_1 \cos\theta_1 + p_2 \cos\theta_2 \Rightarrow p^2 - 2pp_1\cos\theta_1 + p_1^2\cos^2\theta_1 = p_2^2 - p_1^2 + p_1^2\cos^2\theta_1$$

$$E^2 - (m_0c^2)^2 - 2\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2} E_1 \cos\theta_1 = E_2^2 - E_1^2$$

$$E^2 - (m_0c^2)^2 - 2\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2} E_1 \cos\theta_1 = (E - E_1)^2 - E_1^2$$

$$\boxed{E_1 = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E - \cos\theta_1\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}}$$

Analogamente, para o segundo fóton:

$$\boxed{E_2 = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E - \cos\theta_2\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}}$$

b) As condições de energia máxima e mínima ocorrem quando $\cos \theta_1 = 1$ e $\cos \theta_2 = -1$, resultando em:

$$E_{max} = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E - \sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}$$

$$E_{min} = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E + \sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}$$

Dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:

$$\dfrac{E_{max}}{E_{min}} = \dfrac{E + \sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}{E - \sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}$$

Como a energia de uma partícula pode ser escrita como $E = \gamma m_0c^2$, a expressão $\sqrt{E^2 - m_0c^2} = pc$ e o momento pode ser expresso como $p = \gamma m_0 v$:

$$\dfrac{E_{max}}{E_{min}} = \dfrac{\gamma m_0c^2 + \gamma m_0vc}{\gamma m_0c^2 - \gamma m_0vc}$$

$$\dfrac{E_{max}}{E_{min}} = \dfrac{c + v}{c - v}$$

$$\boxed{v = \dfrac{E_{max} - E_{min}}{E_{max} + E_{min}}}$$

Avançado

Vetores

a) O produto escalar entre dois vetores pode ser escrito como:

$$\boxed{\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta}$$

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. Alternativamente, essa operação pode ser expressa como:

$$\boxed{\vec{A} \cdot \vec{B} = x_A x_B + y_A y_B + z_A z_B}$$

com $x_i$, $y_i$ e $z_i$ representando as coordenadas do vetor $i$ nos eixos $x$, $y$ e $z$, respectivamente.

Para o produto vetorial, ele também pode ser expresso de duas maneiras:

$$\boxed{|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta}$$

$$\boxed{\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}\hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\x_A & y_A & z_A \\x_B & y_B & z_B\end{vmatrix} = (y_Az_B-y_Bz_A)\hat{x} + (x_Bz_A - x_Az_B)\hat{y} + (x_Ay_B - x_By_A)\hat{z}}$$

Para determinar a direção do vetor resultante na primeira expressão, deve-se usar a regra da mão direita, indicando que o vetor resultante será perpendicular a ambos os vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$. Na segunda expressão, como os versores indicam diretamente as componentes nos eixos $x$, $y$ e $z$, a direção do vetor resultante é definida pelas coordenadas calculadas.

b) Para encontrar as coordenadas do vetor posição no plano cartesiano, primeiro devemos representá-las no plano:

A partir da imagem, as componentes nos eixos $x$, $y$ e $z$ são:

$$\boxed{x = \cos\delta\cos\alpha}$$

$$\boxed{y = \cos\delta\sin\alpha}$$

$$\boxed{z = \sin\delta}$$

c) A distância angular entre duas estrelas no céu é o ângulo formado entre os vetores posição das estrelas. A forma mais simples de encontrar esse ângulo é usando o produto escalar, pois assim não é necessário calcular o determinante de uma matriz. Para determinar o ângulo, calculamos o produto escalar a partir da expressão das componentes dos vetores nos eixos $x$, $y$ e $z$, obtidas no item \textbf{b}, considerando que os módulos dos vetores são unitários (raio da esfera celeste).

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$$

$$\cos\theta = x_A x_B + y_A y_B + z_A z_B$$

$$\cos\theta = \cos\delta_A\cos\alpha_A\cos\delta_B\cos\alpha_B + \cos\delta_A\sin\alpha_A\cos\delta_B\sin\alpha_B + \sin\delta_A\sin\delta_B$$

Essa expressão é equivalente à fórmula da trigonometria esférica, pois $\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$. Substituindo esse resultado:

$$\boxed{\cos\theta = \cos\delta_A\cos\delta_B\cos(\alpha_A - \alpha_B) + \sin\delta_A\sin\delta_B}$$

d) No caso em que as coordenadas utilizadas são horizontais, as expressões para as componentes dos vetores são semelhantes às coordenadas equatoriais, substituindo $\delta$ por $h$ e $\alpha$ por $A$. Suponha que utilizamos os vetores $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ e $\vec{D}$, com componentes $x_i$, $y_i$ e $z_i$. Para encontrar os pontos em que as trajetórias dos asteroides se cruzam, podemos analisar a situação considerando os planos definidos por essas trajetórias. Os pontos de interseção entre esses planos são determinados pela reta que forma a interseção e tem módulo unitário, já que representa um ponto na esfera celeste.

Para encontrar essa interseção, devemos calcular o produto vetorial entre os vetores normais aos planos. Um vetor normal é perpendicular ao plano e, portanto, ao calcular o produto vetorial de dois vetores posição que pertencem ao plano, obtemos um vetor normal:

$$\vec{N_1} = \vec{A} \times \vec{B} = (y_A z_B - y_B z_A)\hat{x} + (x_B z_A - x_A z_B)\hat{y} + (x_A y_B - x_B y_A)\hat{z}$$

$$\vec{N_2} = \vec{C} \times \vec{D} = (y_C z_D - y_D z_C)\hat{x} + (x_D z_C - x_C z_D)\hat{y} + (x_C y_D - x_D y_C)\hat{z}$$

Para determinar os pontos de encontro, calculamos o produto vetorial entre $\vec{N_1}$ e $\vec{N_2}$. Como a reta de interseção está nos dois planos, ela é perpendicular a ambos os vetores normais:

$$\vec{I} = \vec{N_1} \times \vec{N_2} = (y_1 z_2 - y_2 z_1)\hat{x} + (x_2 z_1 - x_1 z_2)\hat{y} + (x_1 y_2 - x_2 y_1)\hat{z}$$

Agora, substituímos as expressões dos componentes $x_i$, $y_i$ e $z_i$ para as coordenadas horizontais:

$$x = \cos h \cos A, \quad y = \cos h \sin A, \quad z = \sin h$$

Finalmente, obtemos:

$$\boxed{\sin h = (y_A z_B - y_B z_A)(x_D z_C - x_C z_D) - (y_C z_D - y_D z_C)(x_B z_A - x_A z_B)}$$

$$\boxed{\cos A = \dfrac{(x_B z_A - x_A z_B)(x_C y_D - x_D y_C) - (x_D z_C - x_C z_D)(x_A y_B - x_B y_A)}{\cos h}}$$

onde $x_A = \cos h_1 \cos A_1$, $y_A = \cos h_1 \sin A_1$, $z_A = \sin h_1$, e assim por diante para os outros vetores.