Soluções Astronomia – Semana 24

Iniciante

Sabendo que é necessário $$v_{p}$$ para a posição polar e $$v_{e}$$ para a posição equatorial, temos:
$$\frac{E_{p}}{E_{e}} = \frac{v_{p}^{2}}{v_{e}^{2}}$$
Daí é necessário apenas calcular as velocidades. Sabendo que na posição equatorial a velocidade necessária é menor em 0,5 km/s graças à velocidade de rotação da Terra, temos:
$$v_{p}^{2} = gR$$
Portanto:
$$v_{p} = 7,9 km/s$$ e $$v_{e} = 7,4 km/s$$
Daí
$$\frac{E_{p}}{E_{e}} = 1,14$$

Intermediário

$$L_{Sol} = 3,86 \cdot 10^{26} W$$
Sabe-se que para a liberação de 1 neutrino, é necessária uma energia de:
$$E = 4,28 \cdot 10^{-12} J$$
Portanto a cada segundo há a liberação, para todas as direções, de:
$$n = \frac{3,86 \cdot 10^{26}}{4,28 \cdot 10^{-12}}$$
$$n = 9 \cdot 10^{37}$$
Daí, sabendo que o ângulo sólido correspondente à Terra é
$$\Omega = \frac{\pi R^{2}}{(1 U.A.)^{2}} = 5,64 \cdot 10^{-9} sr$$
Temos:
$$\frac{4 \pi}{5,64 \cdot 10^{-9}} = \frac{9 \cdot 10^{37}}{\nu}$$
$$\nu = 4 \cdot 10^{28} neutrinos/s$$

Avançado

Conservando o momento linear, usando que o ganho de velocidade é dv, que o ganho de massa é dm (com dm negativo porque o foguete perde massa) e que a velocidade do combustível expelido é v-u, onde u é a velocidade relativa entre o combustível expelido e o foguete:
$$mv = (m + dm)(v +dv) + (-dm)(v – u)$$
Expandindo a equação temos:
$$\not{mv} = \not{mv} + \not{vdm} + \not{dmdv} + mdv – \not{vdm} +udm$$
$$mdv = -udm$$
$$\int_{v_{0}}^{v_{f}}v = -u \int_{M}^{M_{f}}\frac{dm}{m}$$
$$v_{f} – v_{0} = -uln(\frac{M}{M_{f}}) = -uln(\frac{M}{M-kt})$$