Soluções Astronomia – Semana 27

Iniciante

Sabe-se que o período sinódico, isto é, o período para que um planeta tenha a mesma configuração em relação ao outro, é dado por: $\frac{1}{P_s}=\frac{1}{P_i}-\frac{1}{P_e}$, onde ${P_s}$ é o período sinódico, ${P_i}$ é o período do planeta interno e ${P_e}$ é o período do planeta externo.

Utilizando os dados do problema:

$\frac{1}{P_s}=\frac{1}{1}-\frac{1}{84}$

Assim:

${P_s}=1.01 anos$

Intermediário

a) Sabe-se que a escala de placa, isto é, quanto um ângulo corresponde em comprimento no CCD, é dada por $S=\frac{1}{f}$ para o ângulo expresso em radianos e $S=\frac{206265}{f}$ para o ângulo expresso em segundos de arco. Para calculá-la, deve-se primeiro encontrar a distância focal:

$\frac{f}{10}={1500}mm$

${f}={15000}mm={15000000}\mu m$

Assim:

${S}=\frac{206265}{15000000}={0.013751}"/\mu m$

Para calcular o comprimento da imagem, em $\mu m$, deve-se primeiro encontrar a distância angular entre as duas estrelas, através da relação:

$\cos\theta=\sin{\delta _A}sin{\delta_B}-cos{\delta _A}cos{\delta _B}cos{\Delta \alpha}$

Substituindo os dados do problema, temos que $\theta=1'18.2"$

Portanto, o comprimento da imagem, em mícrons, no CCD, será dada por:

${l}=\frac{1}{0.013751} {1'18.2"}=5687\mu m$

Em píxeis, será:

${5687\mu m}\frac{1pixel}{6\mu m} = 978$ píxeis

b) Sim, pois o tamanho em píxeis é menor do que é o tamanho máximo que pode caber no CCD, dado por ${l}\sqrt{2}$, onde $l$ é o lado do CCD expresso em píxeis.

Avançado

a) Momento angular (${L}$)

Temos que o momento angular é

${L}=m\omega r^{2}$

Assim, o momento angular da estrela 1 é:

${L_1}=m_1\omega {r_1}^2$

$r_1=D \frac{m_2}{m_1+m_2}$

Logo;

${L_1}=m_1\omega (D \frac{m_2}{m_1+m_2})^{2}$

${L_2}=m_2\omega {r_2}^{2}$

Mas $r_2$ é a distância da $m_2$ ao centro de massa, e é dada por:

$r_2=D\frac{m_1}{m_1+m_2}$

Logo;

${L_2}=m_2\omega (D \frac{m_1}{m_1+m_2})^{2}$

O momento total do sistema será:

${L}={L_1}+{L_2}$

${L}=\omega D^2 (\frac{m_2 m_1}{m_1+m_2})$

A energia cinética da estrela 1 será:

$K_1 = \frac{{m_1}{\omega r_1}^{2}}{2}$

Substituindo $r_1$

$K_1 = \frac{{m_1}(\omega D \frac{m_2}{m_1+m_2})^{2}}{2}$

A energia cinética da estrela 2 será:

$K_2 = \frac{{m_2}{\omega r_2}^{2}}{2}$

Substituindo $r_2$

$K_2 = \frac{{m_2}(\omega D \frac{m_1}{m_1+m_2})^{2}}{2}$

A energia cinética total será:

$K=K_1+K_2$

Logo;

$K=\frac{1}{2}\omega ^2 D^2 (\frac{m_2 m_1}{m_1+m_2})$

b) Pela Terceira Lei de Kepler, tem-se:

$P^{2} = \frac{4\pi ^2}{G(m_1+m_2)} {a^3}$

Mas $P=\frac{2 \pi}{\omega}$ e $a=D$, assim:

$\omega ^{2} = \frac{G(m_1+m_2)}{D^3}$

c) Como o momento é conservado, tem-se que:

$\omega D^{2} \frac{m_2 m_1}{m_1+m_2}=(\omega +\Delta \omega)(D+ \Delta D)^{2} \frac{(m_1+\Delta m) (m_2-\Delta m)}{m_1+m_2}$

Assim:

$1=(1+\frac{\Delta \omega}{\omega})(1+\frac{\Delta D}{D})^2(1+\frac{\Delta m}{m_1})(1-\frac{\Delta m}{m_2})$

Usando as aproximações fornecidas:

$1=1+\frac{\Delta \omega}{\omega}+{2}\frac{\Delta D}{D}+\frac{\Delta m}{m_1}-\frac{\Delta m}{m_2}$

Usando a equação obtida no item b, tem-se que o produto $\omega ^{2}{D^3}$ é constante. Assim:

$\omega ^{2}{D^3}=(\omega+ \Delta \omega) ^{2} {(D+\Delta D)^3}$

Usando as aproximações fornecidas:

$\frac {\Delta D}{D}=-\frac {2}{3} \frac {\Delta \omega}{\omega}$

Substituindo $\frac {\Delta D}{D}$:

$\Delta \omega=-(\frac{3(m_1-m_2)}{{m_1}{m_2}})\omega \Delta m$

d) Primeiro, calcula-se o $\Delta \omega$:

$\Delta \omega=\frac{2 \pi}{T_2} - \frac{2 \pi}{T_1}$

Substituindo os valores com unidades convertidas para o Sistema Internacional, na equação do item (c) temos:

$\frac{\Delta m}{{m}{\Delta t}} = 2.9{\cdot}10^{-7}$ por ano

e) Como o sinal do resultado do item (d) é positivo, quer dizer que a estrela está ganhando massa enquanto que a estrela 2 está perdendo. Assim, a massa flui da estrela 2 para a estrela 1.

f) Do item (c), tem-se que $\frac {\Delta D}{D}=-\frac {2}{3}\frac{\Delta \omega}{\omega}$ . Do item(d), tem-se que $\Delta\omega=\frac{2 \pi}{T_2}-\frac{2 \pi}{T_1}$ . Encontra-se $\omega$ pela relação $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ . Substituindo dados:

$\frac{\Delta D}{{D}{\Delta t}}=6.2\cdot10^{-7}$ por ano