Iniciante
Sabe-se que o período sinódico, isto é, o período para que um planeta tenha a mesma configuração em relação ao outro, é dado por: $$\frac{1}{P_s}=\frac{1}{P_i}-\frac{1}{P_e}$$, onde $${P_s}$$ é o período sinódico, $${P_i}$$ é o período do planeta interno e $${P_e}$$ é o período do planeta externo.
Utilizando os dados do problema:
$$\frac{1}{P_s}=\frac{1}{1}-\frac{1}{84}$$
Assim:
$${P_s}=1.01 anos$$
Intermediário
a) Sabe-se que a escala de placa, isto é, quanto um ângulo corresponde em comprimento no CCD, é dada por $$S=\frac{1}{f}$$ para o ângulo expresso em radianos e $$S=\frac{206265}{f}$$ para o ângulo expresso em segundos de arco. Para calculá-la, deve-se primeiro encontrar a distância focal:
$$\frac{f}{10}={1500}mm$$
$${f}={15000}mm={15000000}\mu m$$
Assim:
$${S}=\frac{206265}{15000000}={0.013751}”/\mu m$$
Para calcular o comprimento da imagem, em $$\mu m$$, deve-se primeiro encontrar a distância angular entre as duas estrelas, através da relação:
$$\cos\theta=\sin{\delta _A}sin{\delta_B}-cos{\delta _A}cos{\delta _B}cos{\Delta \alpha}$$
Substituindo os dados do problema, temos que $$\theta=1’18.2″$$
Portanto, o comprimento da imagem, em mícrons, no CCD, será dada por:
$${l}=\frac{1}{0.013751} {1’18.2″}=5687\mu m$$
Em píxeis, será:
$${5687\mu m}\frac{1pixel}{6\mu m} = 978$$ píxeis
b) Sim, pois o tamanho em píxeis é menor do que é o tamanho máximo que pode caber no CCD, dado por $${l}\sqrt{2}$$, onde $$l$$ é o lado do CCD expresso em píxeis.
Avançado
a) Momento angular ($${L}$$)
Temos que o momento angular é
$${L}=m\omega r^{2}$$
Assim, o momento angular da estrela 1 é:
$${L_1}=m_1\omega {r_1}^2$$
$$r_1=D \frac{m_2}{m_1+m_2}$$
Logo;
$${L_1}=m_1\omega (D \frac{m_2}{m_1+m_2})^{2}$$
$${L_2}=m_2\omega {r_2}^{2}$$
Mas $$r_2$$ é a distância da $$m_2$$ ao centro de massa, e é dada por:
$$r_2=D\frac{m_1}{m_1+m_2}$$
Logo;
$${L_2}=m_2\omega (D \frac{m_1}{m_1+m_2})^{2}$$
O momento total do sistema será:
$${L}={L_1}+{L_2}$$
$${L}=\omega D^2 (\frac{m_2 m_1}{m_1+m_2})$$
A energia cinética da estrela 1 será:
$$K_1 = \frac{{m_1}{\omega r_1}^{2}}{2}$$
Substituindo $$r_1$$
$$K_1 = \frac{{m_1}(\omega D \frac{m_2}{m_1+m_2})^{2}}{2}$$
A energia cinética da estrela 2 será:
$$K_2 = \frac{{m_2}{\omega r_2}^{2}}{2}$$
Substituindo $$r_2$$
$$K_2 = \frac{{m_2}(\omega D \frac{m_1}{m_1+m_2})^{2}}{2}$$
A energia cinética total será:
$$K=K_1+K_2$$
Logo;
$$K=\frac{1}{2}\omega ^2 D^2 (\frac{m_2 m_1}{m_1+m_2})$$
b) Pela Terceira Lei de Kepler, tem-se:
$$P^{2} = \frac{4\pi ^2}{G(m_1+m_2)} {a^3}$$
Mas $$P=\frac{2 \pi}{\omega}$$ e $$a=D$$, assim:
$$\omega ^{2} = \frac{G(m_1+m_2)}{D^3}$$
c) Como o momento é conservado, tem-se que:
$$\omega D^{2} \frac{m_2 m_1}{m_1+m_2}=(\omega +\Delta \omega)(D+ \Delta D)^{2} \frac{(m_1+\Delta m) (m_2-\Delta m)}{m_1+m_2}$$
Assim:
$$1=(1+\frac{\Delta \omega}{\omega})(1+\frac{\Delta D}{D})^2(1+\frac{\Delta m}{m_1})(1-\frac{\Delta m}{m_2})$$
Usando as aproximações fornecidas:
$$1=1+\frac{\Delta \omega}{\omega}+{2}\frac{\Delta D}{D}+\frac{\Delta m}{m_1}-\frac{\Delta m}{m_2}$$
Usando a equação obtida no item b, tem-se que o produto $$\omega ^{2}{D^3}$$ é constante. Assim:
$$\omega ^{2}{D^3}=(\omega+ \Delta \omega) ^{2} {(D+\Delta D)^3}$$
Usando as aproximações fornecidas:
$$\frac {\Delta D}{D}=-\frac {2}{3} \frac {\Delta \omega}{\omega}$$
Substituindo $$\frac {\Delta D}{D}$$:
$$\Delta \omega=-(\frac{3(m_1-m_2)}{{m_1}{m_2}})\omega \Delta m$$
d) Primeiro, calcula-se o $$\Delta \omega$$:
$$\Delta \omega=\frac{2 \pi}{T_2} – \frac{2 \pi}{T_1}$$
Substituindo os valores com unidades convertidas para o Sistema Internacional, na equação do item (c) temos:
$$\frac{\Delta m}{{m}{\Delta t}} = 2.9{\cdot}10^{-7}$$ por ano
e) Como o sinal do resultado do item (d) é positivo, quer dizer que a estrela está ganhando massa enquanto que a estrela 2 está perdendo. Assim, a massa flui da estrela 2 para a estrela 1.
f) Do item (c), tem-se que $$\frac {\Delta D}{D}=-\frac {2}{3}\frac{\Delta \omega}{\omega}$$ . Do item(d), tem-se que $$\Delta\omega=\frac{2 \pi}{T_2}-\frac{2 \pi}{T_1}$$ . Encontra-se $$\omega$$ pela relação $$\omega=\frac{2 \pi}{T}$$ . Substituindo dados:
$$\frac{\Delta D}{{D}{\Delta t}}=6.2\cdot10^{-7}$$ por ano
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